黒色インクの有効性とプリントの可否

ブラザーのＭＦＣ－６７５ＣＤを使っています。４色のうち青が無くなりましたが、モノクロ印刷のみ可能な状態で（黒色だけで）、実際に使い続けています。
マニュアルによると「一定期間に限り」との事なので、いずれは使えなくなると覚悟しています。

機種が書かれていないのですが、メーカーや機種によってできるものと
そうでないものがあります。印刷可能の表示が出れば可能です。
おそらく、ブラザー製だと思いますが、以下を参照して下さい。
用紙設定は「普通紙」です。
https://www.youtube.com/watch?v=SqZsgtsHeko

https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj725n&faqid=faq00012176_007

https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj725n&faqid=faq00010040_001

尚、注意書きを注視して下さい。

機種がわからないのですべての機種でできるかどうかは
わかりませんが
プリンターはインクをすべてセットしないと動きません。
ですが、最初から黒以外は使いたくないのであれば
「モノクロ」に設定すればよい。
プリンタを買った際にすべてのヘッドは同梱されています。
一応セットすれば動くのでインク切れしてもそのまま印刷可能です。
つまり必要な黒インク残量有り　それ以外インク残量無し
でも黒色の印刷のみ可能です。

機種とパソコンのOSの条件が提示されていないので、
そもそもコメントが難しいのですが....

インクジェットプリンターにおいては、一般的にはできません。
ドライバーなどでフォローが対応できている場合、
一定の条件・制約下ではあるものの、一時的に延命できるケースはあります。

取説でお使いの機種の対応状況や条件を確認されたほうが良いでしょう。
https://support.brother.co.jp/j/b/productsearch.aspx?c=jp&lang=ja

通常はできません。