HL-L2365DWの用紙キレエラーメッセージ

>エラーメッセージがPC側には表示されない
これをつかさどるのは、ブラザー機の場合
ドライバーと連携する「ステータスモニター」というソフトです。

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw
↓
ユーザーズガイド
https://download.brother.com/welcome/doc100270/cv_hll2360dn_jpn_usr_c.pdf
72ページ「ステータスモニターを起動する」

お使いのコンピューターのOS環境が不明ですが、
きちんとブラザー製のプリンタードライバーを適用し、
ステータスモニターを更新している必要があります。

所定のインストーラーを起動せずに使用していると
OS標準ドライバーやWSDドライバーが適用されているかもしれません。
Windows系であれば下記の流れでやり直してみてください。
1.プリンターの電源を切って
2.アンインストールツールでドライバーを削除
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039
3.パソコン再起動
4.フルパッケージダウンロード 【推奨】を実行し、パソコンとの接続方式を選ぶところで電源を入れて検出させる
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw&os=10013&dlid=dlf101174_000&flang=1001&type3=11
5.差分として下記を適用
ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043
ステータスモニターアップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2365dw&os=10013&dlid=dlf103276_000&flang=1001&type3=1326
これでステータスモニターを運用できるか確認してみてください。