DCP-J577Nでのプリントができない問題の対応方法

経緯としては
[PC]-(区間1)-[Wi-Fiルーター]-(区間2)-[プリンター]
のように従来から使っていて、
Wi-Fiルーターを変更したと言うことですか？
であれば、
1.PC側で、区間1のWi-Fi接続のやりなおし
2.プリンター側で区間2のWi-Fi接続のやり直し
3.PC側でポート設定(どの経路でデータを送るか)の再設定→事実上、ドライバーの入れ直しが確実です
の3工程が必要です。

なお、
>ソフトバンク光を設置してから
とのことで、SoftBankから提供されるルーターは、
既定値で、ルーターに繋いだ機器同士の通信が遮断されているため、
上記の工程3をやる前に、ルーターの設定変更が必要です。

SoftBank光とのことなので、
光BBユニットの端末間通信設定を許可に
https://www.softbank.jp/support/faq/view/19794
することを忘れずに行ってください。
これを忘れると、工程3の時に、プリンターを見つけられません。

また、工程2のときに、
SSIDとKeyをタッチパネルで入力するのでは無く、
WPSボタンで接続をしているのであれば、
光BBユニットのWPSボタン長押し時間を
2.4GHz帯の方で起動しないと、
区間2がWi-Fi接続できず、工程2および3が実行できません。
https://www.softbank.jp/support/faq/view/25289

これらをまず確認して、作業してみてください。

工程3については、
コンピューターのOSや接続方式が不明ですが、
たとえばWindows10なら
工程2でプリンターと光BBユニットが接続できたら、
いったんプリンターの電源を切った状態で、
Windowsならアンインストールツールをダウンロード・実行して現在のドライバーを正しく削除してから、
パソコンを再起動して、
フルパッケージをダウンロード・実行して画面の指示に沿って進み、パソコンとの接続方法を選ぶところで電源を入れて、プリンターを検知させる事が必要です。
これらの工程が間違っていると、正しく設定されません。

どのようなネット環境（LAN接続）か分りませんが、ソフトバンク光に変更されたのであれば（ルーターなどを変えれば）、設定をやり直すことが必要かと思います。