インクがかすれる！MFC-J6589COWでのトラブル解決方法を教えてください

>MFC-J6589COWを使ってます
この機種名に尋ねあたらないです。
近しい文字列や、キーボードのタイプミスだとすると
MFC-J6580CDWなどでしょうか？

いったんMFC-J6580CDWとしますが、
仮に他の機種であっても、
>10回以上クリーニング
状況から、非純正インクの利用により、
インクの噴射経路に気泡が入り込み、
噴射のための圧力が掛からない状態に陥っている可能性が高く、
そのためにクリーニングのための噴射もままならず、
改善されない状況であると考えられます。
この場合、ブラザーにて修理を受けないと回復は期待薄です。
4桁型番の機種なのでA3対応だと思いますが、
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mfc_color_inkjet/index.aspx
に掲載の費用が掛かることが見込まれます。

MFC-J6580CDWの場合、
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/mfcj6580cdw/accessory/index.aspx
に掲載の、
3117/3119番のブラザー純正インクを継続して使用していますか？

他機種である場合
https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/supply/index.aspx
から、お使いの機種の正しい型番を選択して表示される、
各ブラザー純正品インクを継続して利用していますか？

他の方が回答されていますが「MFC-J6589COW」では該当する製品が見つかりません。もう一度、型番を確認しましょう。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6973cdw
例えば上記だったとすると

ヘッドクリーニングの方法
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6973cdw&faqid=faq53100017_015

1回のヘッドクリーニングで問題が解決しない場合、何度かクリーニングを行なうことで、解決できる場合があります。ヘッドクリーニングを5回行なっても解決しない場合は、ブラザーコールセンターへお問い合わせください。

とあるので10回もクリーニングをしても無駄だったかも知れません。ん現状だとプリントヘッドの異常が疑われますので修理に出すぐらいしか無いかも。

画像をみますと　シアン　以外は目詰まりしているようですね。
続けてヘッドクリーニングをしますと、ヘッドの中のインクの状態が不安定（空気を取り込むなど）になり、正常な印刷が出来ない場合があります。

その場合は、１時間後単位で印刷してみて症状が快方に向かっているかどうかを判断します。　出てなかったインクの部分が出るようになったら、快方に向かっていると判断し、そっとしておき、翌日にまたテスト印刷をしてみてその変化をみたら如何でしょうか。
（治っている場合があります）

あるいは、もし、互換インクを使っている場合、復活が難しい場合もありますので、純正で試してみるのも方法でしょう。

機種の表記が間違っているのか分りませんが、検索ヒットしません。
インクジェットの場合、
ダメ元でやってみることは、コンセントを抜き、数時間放置後に再確認する。また、A4で三分の一の領域に全面黒色のベタ印刷できるような原稿を作り印刷してみる。
これでダメな場合は、修理か買換を検討してください。
尚、互換インクを使っていたり、長期（1ヶ月以上）未使用の場合は、ノズルの詰まりなどが出ることが多いようです。