HDDをSSDに変えたい

ご準備としては特に問題ありませんが、
どのような形で換装されようとしておりますでしょうか？
システムパーティションのみをそういったソフトで移そうとしているのでしたら現在お考えになっているもので良いですが、うまくいかなくなるリスクも想定されますのでご注意ください。

基本的に換装する場合は「クローン」が大前提となります。
クローンの場合
元のHDD容量＜換装先のSSD容量
としなければなりませんのでご注意ください。
仕様を見る限り、低いスペックでもストレージは1TBありますのでクローンするのであれば最低でもSSDの容量は1TB以上は必要となります。
https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-DA370MAB

以下のような商品でPCを介さず単純にクローンする方法を私はおすすめします。
https://amzn.asia/d/8vqViNK

元々は1TBのHDDのようなので1TBのSSDが良いかもしれません。
また、2.5インチのSSD・HDDを3.5インチベイに取り付けるためのマウンタが必要になります。
なお、SSD（HDD）のクローンはHDDスタンドを使うと確実に行えます。
ソフトだとクローンのモードなどで正常に起動しない、一部のソフトが正常に動作しないといった可能性があります。
実際、会社で使ってる業務用のソフトは容量を調整してクローンするとエラーが出て起動しませんでしたが
仕方なくHDDスタンドでクローンすると正常に動きました。

Inateck 2個2.5インチHDD・SSD取り付け可能の変換フレーム、3.5″~2.5″内蔵HDD増設用フレーム、SSD変換ブラケットアダプター インストールツール+電源/データケーブル各2本付属
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WAVLINK USB 3.0 SATA I/II/III デュアルベイ 外付けハードドライブ ドッキングステーション HDDスタンド 2.5/3.5インチ SSD HDD UASP（6Gbps）付き オフラインクローン デュプリケータと自動スリープ機能対応 [16TB X2] 黒色
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Hanye 内蔵型 SSD 1TB 2.5インチ 7mm SATAIII 6Gb/s 550MB/s 3D NAND採用 PS4動作確認済 アルミ製筐体 正規代理店品 メーカー3年保証
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ロジテック HDD/SSD 換装 キット 480GB 2.5インチ等の換装キットで問題ありません。
なお、NEC DA370/MはCPUやGPUやメモリの性能が低いため、できれば新しいパソコンの購入をお勧めします。