Wireless DVD シリアル

https://www.logitec.co.jp/products/dvd/ldrps8wu2v/
このあたりの製品でしょうか。

他の方が回答されていますが再発行は出来ないですね。
最悪、同じか？同様の製品を再度購入することになるかと…

というより、貴方が「何を買ったのか」という事を
証明できないのではないかと。
レシートではなく、「貴方が複数の製品の中のある一つ」を
店が管理してるか？って事でしょうね。
この場合、客と店との話でしょうが。
結論としては「まず無理でしょうね」
とは思います。箱を捨てた時、ライセンスを放棄したと
思われるだけなので、難しいでしょうね。

わかったとしても、製品名が限界で、
製品の何番の何を買ったのか？は店は最初から
把握してないとは思いますが。
聞くのは自由だとは思うので、ショップで相談してみることを
お勧めはしますが。
恐らく難しいと思います。