ソフトバンク光で使用するWifi中継機

今お使いのルーターの型番がわからないので、選択肢としては一般的なものになってしまいますが、下のリンク先は中継器化機能を有したルーターの一覧になります。
https://kakaku.com/pc/wireless-router/itemlist.aspx?pdf_Spec025=1

今お使いのルーターがmeshWi-Fiなどを構成できる機種でしたら、meshWiFiを組める同メーカーの機種を選ばれた方が良いと思います。
一般的にはNECかBuffaloから選ぶようになると思います。
meshWi-Fiで構成しなおすのでしたら選択の幅は広がりますが。

>中継機を置く部屋は隣の部屋で有線を使用して
>デスクトップPCに中継機から接続する予定です。

今お使いのルーターのWi-Fiを上で紹介したような中継機能付きのルーターで中継して、かつ、デスクトップPCはその中継器に有線LAN接続して使用する、という用途を検討されているのでしょうか。

新しく買われて中継器化したルーターの背面のLANポートは使用することが可能なので、想定されている利用方は可能かと思います。

>PCでFPSなどの重いゲームもやるため、
>範囲が広がるというよりは速度が速く有線接続が可能なもの
>を教えていただきたいです。

この場合、中継器に有線LAN接続したデスクトップPCの通信は、中継器化したルーターまでは有線LAN接続ですが、今お使いの親ルーター、そしてソフトバンク光のONUまではWi-Fiを介して通信が行われます。ですので、親ルーターと中継器のWi-Fiの電波状況に左右されることになります。

FPSなどでping値などが重要なゲームを検討されているのでしたら、デスクトップPCは、親ルーターから直接有線LANの配線を検討されてみるのも良いかもしれません。

その場合は中継器ではなく無線LANコンバータ（子機モード）を設置します

最近の機種ならばルーターモード・アクセスポイントモード・コンバータモード（子機モード）を切り替えて使えるようになっているので購入する機器にコンバータモード（子機モード）が搭載されている機器を選択すればいいです
ただエレコム製品は避けた方がいいでしょう

サポート体制が貧弱ですし、製品の信頼性も低いです（回線切れや近場でもクライアント機が接続できないなどの不具合が発生するケースが見受けられるし、その対応がされない（対応するファームウェアなどがアップされない）事が多いです