SSD 、MBM R0.39による書換えができず

手持ちのWindows 7 Pro（32ビット版）を一からインストールして確認してみました。
１、内臓ディスクの全てのパーティションを抹消。
２、Windows 7 ProインストールDVDを起動します。
３、インストール作業中のパーティション設定はインストーラー任せにします。
４、Windows 7 Proのインストールが完了して正常に起動することを確認します。
５、MBMをインストールしたUSBメモリーから起動してMBMをインストールします。
（MBM R0.39のCD起動でも同様です。）
　この時、MBMのインストール先は「ドライブ０」即ち先頭の100MBのパーティションを
指定します。
６、再起動するとMBM R0.39が表示されるようになります。

　手順は、Ok-tnk-Waveさんと同じに見えますが、
パーティションを切り分けた辺りで何らかの手違いがあったように思われます。
：＞Partition 3　 63 GB --- 空き
更にパーティションを切り分ける必要があれば、
インストール後にリサイズして残領域に新しくパーティションを作成すれば済むことです。

#1です。

> 私のパソコンは古いため、BIOS、MBR、で動作しています。UEFI動作ではありません。

OS のセットアップ時の選択にもよると思いますが、UEFI でなくとも GPT でないことにはなりません。

> ◇　このSSD(240GB)の[プロパティ]・[ボリューム タブ]の中の[パーティションのスタイル]には、”マスター ブート レコード (MBR)” と記されていました。

GPT でも偽装 MBR が先頭にありますから、それが見えている可能性もあります。可能なら別のマシンの別OS (Linux など) でも確認してみるといいと思います。(Windows は色々隠蔽されてるので分かりにくい)

:>Partition 1　100 MB --- RE領域 (強制的に作られる)
:>Partition 2　160 GB --- W7 SP1 をインストール
:>Partition 3　 63 GB --- 空き
ディスク先頭に強制的に100MB（または、それ以上）のパーティションが作成されるのは
EFI方式の仕様です。
その場合、MBMを正常にインストールすることは出来ません。
　小生は、uEFIマザボでWindows 10 (64)を使用していますが、
BIOS互換に設定している時はUSBドライブ（SSDを含む）にインストールしたMBMは
正常に機能します。
小生は手持ちのブータブルUSBドライブの全てを、BIOS／UEFI両用に作成してありますが、BIOS互換モードの時のみMBMは有効に機能します。
:>このSSDに対し、I/Oエラーで書き換えられない理由や
MBMのインストールに対して「I/Oエラー」が発生するのは、
ディスク・フォーマットが従来型でない何よりの証明であると思われます。
「GPT形式のハードディスクをMBR形式にしてフォーマットしたい」を参考にして下さい。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=5994

> その後、SSD 1台のみの構成で、MBM R0.39 (Multiple Boot Manager R0.39) を使いMBRを書き換えようとしましたが、I/Oエラーで書き換えることができません。

MBR じゃなく GPT スキームに見えますが、MBM は GPT, UEFI に対応してないでしょう。そもそも書き換えできたら、現在の環境もブートできなくなると思いますよ？