容量の少ないPCの外付けSSDの使い方について

＞今現在、Windows７proノート内蔵HDD全使用量７８ギガバイトなのですが、Windows１０の場合は内臓SSDの128GBでは機能しませんか？

Win10のCドライブはWin7のそれより大きいです。データフォルダはほとんどDドライブに移してCドライブには置かないようにしていますが、それでもCドライブサイズは70GB近くになります。WindowsUpdateのために最低20GBの空きが必要ですので、128GBであればなんとか機能するでしょう。その場合の絶対条件は出来る限りデータフォルダを置かず、空き容量を常に20GB以上にしておくことです。
外付けはI/OにUSBの制約を受けますから、SSDの性能は出ません。馬鹿高いSSDを使わず、安価なHDDで十分です。ほかの回答者も言っておられますが、USBデバイスを常にぶら下げている使い方はあなたのPCには合わないでしょう。そんなことをするぐらいなら、最初からSSDのほかにデータ用の内蔵HDDがある機種を選ぶべきです。アプリのデータの読み書きに限れば、SSDの性能はたいして生かされません。生かされるのはWindowsの動作です。

せっかくのコンパクト機にぐだぐだ外付けドライブをつなぐのはなんかもったいないなあ、という気がしますね。
場合にもよりますが、コンパクト機というのは小さくまとめるために設計コストを払っている(≒機種代金に反映されている)場合が多いですし。

既に回答がありますが、内蔵ドライブを増強できるようならまずそれが第一候補なんじゃないでしょうか？
常時接続というのは外付けSSDの用途としてどうかなと思います。

外付けSSDを常時接続してその中に「ドキュメント」を全て入れて、ディスクトップにショートカットを置いて作業することは可能です。その場合、只、外付けSSDの中のファイルのショートカットをディスクトップに置くだけで良いです。
その他、外付け２テラバイト（USB２.０）のHDDに、万が一のためのバックアップと普段あまり開かないファイルなどを保存することもOKです。
ちなみに、内臓の128GB ソリッドステートドライブ (M.2 2242, PCIe-NVMe)では、実用上の容量が少なすぎます。少なくとも256GBが必要ですので、内臓の128GBのSSDは256GBのSSDに置き換えて使うことをお勧めします。外付けSSDがいくらあっても、内臓のSSDの代用はできません。

>ディスクトップにショートカットを置いて作業しようと思いますが可能ですか？

ディスクトップというものがないので不可能だと思います。