HDD別のPCに繋ぐと読み込まない

社内のLAN接続でないと、認証が出来ないように、プロテクトされているだけです。
会社のデーターを持ち出すことで昨今流出事件が起きているための対策でしょう。
どうしてもと言うなら、会社のシステム管理者にお願いして、解除してもらうしかありません。

会社のノートPCを、外出先、自宅で使用
外付けHDD　ELP-ZS010UBKが社内では利用できるが
外出先、自宅では「読み込めない」
会社、外出先、自宅での環境の違いが分かれば解決できると思いますが
とりあえず
「読み込めない」とはELP-ZS010UBKを「認識しない」ならもしかすると
PCのUSBポートから電気供給がストップしているのかも？
USBのセレクティブサスペンドを無効で改善するかも？
NEC　Q&A　を参考に
Windows 10で、USB機器の電源が自動的に切れてしまう場合の対処方法
https://121ware.com/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=018665
こちらも
Windows10で外付けハードディスクドライブの接続が勝手に切断される時の対処法
https://fickleblog.com/windows10_hdd_cut/#toc5

会社、外出先、自宅での使用環境に違いはありませんか？
・ノートPCをACアダプターを接続し利用
・ELP-ZS010UBKを接続するUSBポート
・USBハブを利用

外出先、自宅で他の外付けHDD、USBメモリーは利用できELP-ZS010UBKに原因がありそうです。
他の外付けHDD、USBメモリーでも同じ症状ならノートPCに原因がありそうですね。

そのHDDのフォーマットはNTFSとかでしょうか？
Windows同士（7や8.1、10など）であればFAT32でもNTFSでもどちらでも読むことは出来ますね。

外付けHDDであれば念の為取り外す際はちゃんと手順を踏んで行われているのでしょうか？
それとどう読み込まないのか？も確認が必要です。デバイスマネージャーで認識すらしていないのか？エクスプローラーでドライブがひょじされるのか？ディスクの管理ではどう認識しているのか？ってあたりでしょうか。

https://www.elecom.co.jp/products/ELP-ZS010UBK.html
を見ると

5V（USBバスパワー）

となっているので電源供給はUSBから受けているので電力不足で動作が安定していない？？って可能性もあるかも知れません。
https://www.amazon.co.jp//dp/B005WZ2C22
みたいな外部から電源を補うものを使ってみるって手もあります。

> 外や自宅で使おうと同じ会社のPCに繋げても読み込みません。

高速スタートアップの悪戯でしょう。
「高速スタートアップ モード」に設定していないかです。
既定値で、設定されていますので外すことをお勧めします。
もしそうであれば、ただちに無効にしてください。
確認手順は、下記の通りです。
コントロールパネル→電源オプション→電源ボタンの動作の選択→
現在利用可能ではない設定を変更します→「高速スタートアップを有効にする(推奨)」
のチェックを外す。
シャットダウンか、再起動をします。
もし再現しなければ、下記の理由で、このままの状態で運用されることを強くお勧めします。
この、「高速スタートアップ」にチェックを入れていると、「シャットダウン」で終わらせても、
パソコンを完全にクローズ処理しないためにいろいろなとんでもないことが発生します。
この高速スタートアップ指定は、「百害あって一利なし」ということで、
外しておくことを強くお勧めします。
現象的には、たくさんの事例があり、何が不具合として出てくるのか分かりません。

今回とよく似た現象は下記があります。
Q外付けHDDについて
https://okwave.jp/qa/q9494883.html

Q外付けHDDが突然反応せず(Windows10）
https://okwave.jp/qa/q9333894.html