Wi-Fiは繋がるのにインターネットが繋がらない

私は、エレコムの関係者ではありません。
shiki27 さんのこの質問は、下記の参加企業の質問サイトからですね。
https://okbizcs.okwave.jp/
この質問が、shiki27 さんの操作により、エレコムの質問サイトの中にあるQ&Aコュニティー「OKBiz」から、外部の質問サイトの「OK WAVE」にも接続・表示・公開されました。
Q&Aコュニティー「OKBiz」には、外部の質問サイトへ接続という表示が無いし、また、この回答は、エレコムのサポート担当などからの回答ではありませんので、誤解されませんようお願いします。
「OK WAVE」とは、世界中のインターネットから、誰でも閲覧・投稿が出来る一般の質問サイトです。
私の回答は「OK WAVE」からです。




＞　回線はSoftBank光を使用しております。

光回線は、NTT東日本・西日本のフレッツ光契約からの「転用契約」で、NTT東日本・西日本のの光設備を利用して、プ回線契約先とプロバイダ契約が同じソフトバンクということですね。
または、NTT東日本・西日本のの光設備を利用して、「光コラボ契約」という新規光回線契約で、回線の契約先とプロバイダ契約が同じソフトバンクということですね。




＞　WRC-1167GST2を購入しました。
＞　Wi-Fiは繋がり、スマートフォンのWiFi接続の表示は出るのですがインターネットに繋がりません。

WRC-1167GST2のほかに、前述の様に「転用契約」でも「光コラボ契約」のどちらでも、今までのＮＴＴマークの付いた「光回線用の回線機器」（質問文からは、機器名・方市区名不明）の接続があるはずですが、この回線機器のランプ状況は正常ですか？
もし、、このＮＴＴマークりの回線機器のランプが正常点火なら、子の機器にＰＣを直接LANコードで接続してインターネットが正常なら、光回線は正常です。



＞　なぜでしょうか？

●　前述の様にＮＴＴマークの回線機器で、PCが接続しないなら、会見故障として契約先のソフトバンクに連絡しましょう。
ソフトバンクが、不具合内容から判断して、回線点検ならサフトバンクがＮＴＴ東日本・西日本に振り分けます。
光回線の点検・工事・メンテナンスは、NTT東日本・西日本がしますが、直接の連絡は受付をしません。

●　前述の様にＮＴＴマークの回線機器で、PCが接続が正常ならば、もしかして、質問のWRC-1167GST2を、ルータ機能をオンにして（動作させて）いませんか？

回線に「ルータ機能の複数接続」は、高度なルータ機能の知識が必要です。
ふつう、前述のＮＴＴマークの回線機器（機種名・型番等不明）は、ルータ機能があるはずです。
高度なルータ機能が無ければ、回線の「ルーター機能」はNTTマークの回線機器の１つだけにして、他のルータはすべてを「ルータ機能をオフ」にします。
「ルータ機能をオフ」は、ルータメーカによって、「ブリッジ」とか「アクセスポイント（AP）」になどと、いろいろな名称です。
「ルータ機能をオフ」の方法は、取説に必ず記載があり、スイッチだつたり、ありソフトだったりします。

ルータの複数の接続は、回線契約会社（質問の場合は、ソフトバンク）や、回線保守会社（たぶん、ＮＴＴ東・西）や、ルータメーカに問い合わせても、「ルータの複数接続は出来ない」として、問い合わせ・メンテナンス等を断られます。

知らずにルーター機能が、偶然、複数接続になっている事もあります。

ＮＴＴ東（西）から修理点検等で伺っても、ＮＴＴ東・西では「ルータ複数接続」の場合は、その時点で作業をストップするし、また、ＮＴＴマーク以外の他社製品には、一切の手を付けません。
ＮＴＴの機器はレンタルですから、修理費はかからないですが、他社製品が原因の場合は出張費なとを請求になるかもしれません。

ルータ機能を複数接続の場合は、自己責任で設定して、不具合発生時は、自己責任で解決です。


もし、私の推測違いの回答でしたら、申し訳ありません。

動作モードの切り替えで、アクセスポイントにして再起動したらどうなりますか？

　
WRC-1167GST2のつなぎ方を間違ってる。