WRC-1900HBK-Aの中継機としての使用

＞どうやら初回は「中継器モード」で設定していたようで、
＞「ＰＣもつながり、２Ｆで使うiPhoneやノートPCへWi-Fiを飛ばす」がやりたきことなのですが

なるほど、ようやく状況がつかめてきました
1階のHG8045Qから、2階まで、LANケーブルを引いてあるのでは無いのですね?
そうだとすると、あなたが最初にやったとおり中継器モードで正しいです…。

でも、中継器モードで使うなら、WRC-1900HBK-Aをもっと1階ルータに近づけないと意味がありません。
現在の状態は、図(1)のようになっていると思います。※拡大表示してください
中継器モードでは、親機のSSID/パスワードと、中継器のSSID/パスワードは同一となり、電波の強い方に繋がると思います。
でも、親機と中継器の間が離れていると、近くの中継器と高速に通信できても、親機と中継器の通信が遅くなってしまいます。

これを多少改善するには、中継器を親機にもっと近づけます。(図(2))
そうすると、親機と中継器、中継器とiPhone、それぞれが中ぐらいの強さで繋がることになり、多少はマシになります。
しかしパソコンから中継器までの線は結構長いLANケーブルが必要になり、結局無線通信を回するので、せっかくのNURO光の高速性が生かせません。

そこで、どうせ長いLANケーブルを引き回すなら、親機側との接続に使います。
この時に使うのがアクセスポイントモードです。(図3)
パソコンの方も無線LAN子機をつけて無線化します。
こうすると、中継器モードでは無線で2段階通信していたのに比べ、無線が一段で済み、電波も強くなって、2階でもそこそこの高速性を得られます。

そして理想的なのは、1階ルータから2階の部屋にまでLANケーブルを引き、パソコンはさらに有線接続すること。(図4)。
パソコン側は有線で最高速度の通信ができ、iPhoneの無線通信も近いアクセスポイントに電波強度最高で接続でき、速度もかなり出るようになります。

LANケーブルは最大100mまで引き回せますので、1階～2階の部屋ぐらい、全く問題の無い距離です。
もちろんHG8045Qからの電波を止めるわけでは無いので、1階にいるときはそちらのWi-Fiで使えば良いでしょう。

私としてはやはり、図4の形式・配置をお勧めしたいところです。

＞デスクトップPCのインターネットが繋がらなくなりました、、、

落ち着いてください、エレコムのルータに関係なく、パソコンの配線を元に戻せば繋がるはずですよね？

あと、そちらにはどんな機器があって、どう繋がってるんでしょう？
光ファイバーが接続された機械から、パソコンまで、順番に機器型番を教えてください。あと2階にLANハブは置いて使っていますか？
パソコンからインターネット接続するときは、ダイヤルアップ接続みたいな操作をしていますか？

1階にWi-Fiルータを1台置いているなら、通常はパソコンからの「インターネット接続開始操作」はしてないと思うんですが…。
その前提から違ってくると、やってもらわなければいけないことが増えます。

それはそれとして、エレコムルータがちゃんと動いてくれないのは困った話ですねぇ。
動作モード設定スイッチが筐体に付いている機種なら、それこそスイッチを「AP(アクセスポイント)モード」に合わせて電源を入れて、LANケーブル繋ぐだけで使えるんですけど…。
この機種は、一度設定画面に入って、管理者ID・パスワードを決めて、動作モード選択の後、SSIDも決めて、再起動して、ようやく使えるようになるようです。
その方が高セキュリティなのは確かですけど…。厄介ですね…。

2階に有線LANが引けているなら、「中継器モード」ではなく、「アクセスポイント」にするのが良いです。

中継器モード＝1Fからの無線LAN電波を受信し、自分から再送信する
アクセスポイントモード＝有線LANと無線端末を中継する

ルータの動作モード変更をしなければいけないのですが、これってSkyLinkManager からしかできないんでしょうか?

一応その方法はこちら。

＞WRC-1900HBK-A 本製品をAPモードで設定する
＞https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-1900ghbk-a/09_wrc-1900-1467-600ghbk-f1900acg_qig_setup-07_v04.pdf

まあちょっとしたコツと言えば、
ルータのWPSボタン長押し(5秒以上)でWPSを起動する→「スカイリンクセットアップ」を選択して検索する、といったぐらいでしょうか。
無事に接続できれば、「APモード」を選択、SSIDの設定、再起動、で設定完了です。

設定完了したルータを、2階にハブがあればハブ～ルータのWANを接続、ハブが無いなら、2階パソコンに刺さってたLANケーブルをルータのWANに接続、ルータのLANにパソコンを接続、のように挟み込みます。

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どうしても設定の無線接続ができない場合、有線LANからWeb設定できるかもしれません。

パソコンとルータのLANを繋ぎ、パソコンから http://192.168.2.1 を開きます。
初回アクセスは、管理者IDとパスワードを設定しなきゃいけないようです。ID「admin」、パスワード「任意文字列」とかで設定し、忘れても大丈夫なようにルータに貼っときましょう。
そして設定画面の方は、WAN の設定メニュー化、詳細設定→動作モード、みたいなメニューをたどったところに、「APモード(アクセスポイントモード)」の設定がないでしょうかね…。