HDDをSSDに換装

データ自体が満杯じゃあどうしようもないですが、そうじゃない理由ではないですか？
・HDDの容量をパーティションマジックなどを使ってSDDより小さなサイズにマージする。
この小さいHDDをSDDにクローンする。
あとでパーティションマジックなどを使ってSDD容量まで領域を広げる。

　内蔵ＨＤＤが６８０ＧＢ（実質７５０ＧＢ）、ＳＳＤが４８０ＧＢ（実質５００ＧＢ）で、データが入りきれない時は、以下の方法があります。

１．内蔵ＨＤＤが満杯に近いので、外付けＨＤＤやＳＳＤ（１～４ＴＢ）に画像、動画、音楽などのデータを移して空き容量を確保し、残りをＳＳＤに保存する方法。

２．ＳＳＤはアプリケーションソフトのインストール用と割り切って、それ以外のデータを全て外付けＨＤＤやＳＳＤ（１～４ＴＢ）に保存する方法。

３．パソコンに複数のＨＤＤを内蔵出来る機種であれば、ＳＳＤを２基搭載して、保存容量を増やす。（例：ＳＳＤ（５００ＧＢ）×２枚など）

余分なものは外付けHDDに移して
SSDにクリーンインストールするのが良いと思います。
後から必要な物のみ戻せば良いです。

HDDの総容量が分かりませんが例えば1TBのHDDで680GB分のデータがあってそれをでSSDの総容量が480GBものにすべてコピーは容量オーバーで出来ないですね。

そう言う意味では無く680GBって中途半端な容量はないので750GBとか1TBのHDDなのだろうと思いますがWindowsなどのOSごとSSDにクローンを作成するならクローンを作成するソフトを使えば良いと思います。
HDDの使用量がSSDの480GBを上回っていないならクローン作成ソフトの方でHDDの容量の方が大きくてSSDの容量が小さい場合でもうまく調整してSSDにクローンを作成してくれると思うのですが。