ルーターの設定変更で困っております。

少し回答が遅れてしまいましたが、、、

以下は、NTTフレッツ光メンバーズクラブの契約回線認証　環境設定サポートページです。
一度、参照してみて下さい。
問題点が見つかるかも知れません。
https://members-club.flets.com/pub/pages/lineAuth/auth_support.html

また、
＞NTT窓口→エレコム窓口と誘導された
というのは、予想ですが、「質問者さんがお使いのルータがIPv6通信に対応しているかエレコムに聞いてくれ」・・・ということではないかと思います。
理由は、NTTフレッツ光メンバーズクラブの「IPv6動作確認済ルーター一覧」にはエレコム製品は一切掲載されていませんので、「エレコムに聞いてくれ」・・・となったのではないかと。。。
https://flets.com/customer/ipv6_router.html

で、WRC-1750GHBK－Eのユーザーズマニュアルを見てみると、IPv6ブリッジ機能は搭載していて、初期値で有効になっているようです。
但し、NTTフレッツ光メンバーズクラブの「IPv6動作確認済ルーター一覧」に書かれている「ProxyDNSのIPv6用DNSレコードへの対応」というのは、ちょっと分かりません。

一番確実なのは、ルーター（WRC-1750GHBK－E）を使わず、ONUとパソコンを直接LANケーブルで有線接続して回線認証を取得することですね。

なお、IPv6通信が出来ていれば簡単に回線認証をパスできる方法が記載されているブログ記事がありましたので、URLを貼付しておきます。
https://another.rocomotion.net/15824517195944.html

完全な回答とは言えませんが、参考になればと思います。

接続をWi-Fiのままで切り替えをすることなくインターネットとサービス情報サイトを同時に閲覧設定変更することはできません。