WRC-1167GHBK3-A つながらない

＞【スカイリンクマネージャー】のアプリをダウンロードしてみたのですが、以前のバージョンに対応している、とのとこでアプリを開くことができませんでした。
とのことですので、GooglePlayのSkyLink Managerのページを見てみると、、、
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Android 4.0～8.1
※Android 9.0以上には対応しておりません。
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ということで、古いAndroid OSでないと動かないみたいです。

WRC-1167GHBK3-A自体が2015年辺りの発売で、SkyLink Managerの更新日も2016年7月6日ですから、新しいAndroidスマホには対応するつもりはないようですね。
メーカーとしては、新しいのを買ってね・・・というところでしょうか。

スマホが使えないとなると、パソコンはお持ちではないですか？
WindowsかMacintoshパソコンでしたら、エレコムのホームページからパソコン用のSkyLink Managerをダウンロードできます。
https://www2.elecom.co.jp/search/link/search.asp?kataban=WRC-1167GHBK3-A&link_type=3&_ga=2.5554611.1060530364.1610418402-142542981.1610418402

また、WRC-1167GHBK3-Aには製品添付のユーザーズマニュアルがあるはずですので、一度開いて見て下さい。
以下からもダウンロードできます。
https://www2.elecom.co.jp/search/link/search.asp?kataban=WRC-1167GHBK3-A&link_type=2&_ga=2.108536322.1060530364.1610418402-142542981.1610418402

そのユーザーズマニュアルには、以下のように記載されています。
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本製品の各種機能を設定するには、スマートフォン・タブレットやパソコンから「SkyLink Manager」を使って、本製品の設定ユーティリティーに接続する必要があります。
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ということで、どんな端末（パソコンにせよスマホにせよ）を使っても、「SkyLink Manager」を使わなければWRC-1167GHBK3-Aの設定は出来ない仕組みのようです。

それで、この現状での対処法は、
(1)Android 4.0～8.1のAndroidスマホでSkyLink Managerを使う
(2)WindowsかMacintoshパソコンでSkyLink Managerを使う
ですね。

ところで、その前に、前回の回答で記載した、、、
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「!!elecom-setup」をタップし、「接続」をタップして、状態を「接続されました」にしてください。
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は試されましたか？
現在ご使用のスマホでSkyLink Managerが使えないとなると、SkyLink Manager抜きで試してみるのもアリかと・・・。
それで繋がればOKですから。

説明が長いですが、ご容赦を。。。

WRC-1167GHBK3-Aの製品ページです。
https://www.elecom.co.jp/products/WRC-1167GHBK3-A.html

先ず、初めに、上記ページの「スマホで設定！ SkyLinkSetUp！」という項目を開いて見ていただけると分かりますが、このルーターは、、、
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エレコムの-Aシリーズは、セキュリティーを重視しており、工場出荷時のユーザー名/パスワードは設定されておりません。
-Aシリーズなら、ご自身で設定することができるので安心です。
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という代物で、SSIDを自分で設定しないといけないという、一つ面倒なステップが必要なもののようです。

それで、質問者さんの現状ですが、、、
＞現在WPSボタンは消えていて、POWER、2.4GHz、5GHzは白く点灯しています。
ということですと、リセット後の状態は正常ですね。
それで、リセット（初期化）したことで過去の設定内容が消え去っていますので、再度、設定をやり直す必要があります。
実際には「簡単設定」なるものが用意されているようです。

なお、今まで使っていたということですと、最初の設定は何方が行ったのですか？
質問者さんご自身で行ったのであれば、購入した時に行った初期設定と同じことを行えば使えるようになると思いますが。。。

まあ、それはそれとして、、、
＞AndroidのWi-Fiの接続の設定のところを確認すると今まではなかった「!!ellecom setup」という回線？のような候補が出てきます。
というのは、設定が途中まで進んでいる状態みたいです。

で、設定の仕方ですが、簡単な設定の流れは、最初のURLのページの「スマホで設定！ SkyLinkSetUp！」という項目を開いたところに概要が書かれています。
実際の手順は、以下のページを参照してください。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=6600
ページをスクロールすると、Step1、Step2、Step3とありますので、それぞれクリックすれば開きます。

質問者さんの現状「!!ellecom setup」は、このURLの「簡単設定による初期設定(Android)」というページをスクロールして、「Step3.アプリでの設定」内のステップ5/14の少し下に
「接続できない場合はクリック」
と赤地に白抜き文字で書かれているところをクリックして開いた枠内が、まさにそれです。

「!!ellecom setup」の下に「接続されました」と出ていればWRC-1167GHBK3-Aの無線LANに接続できています。
「接続されました」と出ていないときは、、、
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もし接続していなかった場合、「!!elecom-setup」をタップし、「接続」をタップして、状態を「接続されました」にしてください。
もう一度、本製品（WRC-1167GHBK3-A）のWPSボタンを押して接続をお試しください。
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とありますので、指示通りに行ってください。

お使いのAndroidスマホに「SkyLink Manager」がインストールされていなければ、インストールしてから操作した方が良いように思います。
もし上手く行かないときは、「簡単設定による初期設定(Android)」の手順を最初から丁寧に辿ってみて下さい。

上記の添付URLのページをよく読んで、ゆっくりと手順通りに操作すれば設定出来ると思いますが、どこかで躓いたら補足で質問を継続して下さい。