M-XGM10BBのPCきりか

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M-XGM10BBシリーズ（EX-G Bluetooth BlueLEDマウス Mサイズ）ですね。
https://www.elecom.co.jp/products/M-XGM10BBBK.html

＞PC2台に認識はされてますが、
とのことですが、Bluetooth接続できているだけで、マウスの別々のボタンにきちんと登録できていますか？
ユーザーズマニュアルの「Step3 パソコンとペアリングする」の「[5] 接続先切り替えスイッチで、接続先を選択します。」のステップで、パソコンの1台は[PC1]を、もう1台は[PC2]を確実に選択してからペアリングしましたか？
これをきちんとしないと、[PC1]と[PC2]にそれぞれのパソコンを分けて登録出来ませんので、切り替えスイッチを切り替えても作動しないと思います。
今一度、確認してみて下さい。

なお、[PC1]と[PC2]のスイッチに別々に登録できているにも関わらず、切り替えスイッチを動かしもパソコンが切り替らない、あるいは各々のスイッチに登録すら出来ないようであれば、切り替えスイッチの機能が働いていない（故障）と思います。

購入直後であれば、購入店に保証書とともに持参して症状を説明し、初期不良と判定されれば交換してもらえると思います。
ネット通販での購入だと、何とかエレコムに連絡を取るしかないかと思います。