ネットに繋がりません

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＞設定メニューのところには、「子機モードで動作中」「親機と無線接続出来ています」とあり、WRH-300BK3の本体のEthernetのランプは点灯、WLANのランプは点滅してます。
ということですと、何も問題なく正常に作動しているように思えますが・・・。

もし、子機モードに設定した場所から、WRH-300BK3を動かして端末（パソコンやレコーダー、テレビなど）と有線接続したのであれば、電波が届かない（弱い）か、室内構造により電波状態が不安定になっている可能性も考えられます。
子機の端末をルーターに近づけてみてはどうでしょう？
それでインターネットに接続できるのであれば、子機端末の場所を検討し直す必要がありますね。　
あるいは、子機端末の場所を変更できない場合は、ルーターを高性能なものにするか、中継器を設置するかなど、工夫する必要もあると思います。

あとは、親機ルーターがインターネットに接続できているか、スマートフォンなどで確認してみて下さい。
契約している光回線やプロバイダー側で、メンテナンスや一時的な不具合が発生していると、親機自体がインターネットに接続できない状態になります。

思いつくのはこのくらいです。