ニンテンドーDSでのWi-Fi設定を教えて下さい。

ニンテンドーDSのWi-Fi規格は非常に古く、暗号化方式「WEP」でしか接続できなかったはずです。

Wi-Fiルータの方を「WEP」暗号化に設定しなければ、接続できません。(今どきのルータは「WEP」は無効になっていて、「WPA」や「WPA2」等でないと接続できません。)

しかしこの「WEP」暗号化は、現在では数分で突破されてしまうほど弱いものなので、もう暗号化かかっていないも同然の方式です。
「WEP」暗号化方式の電波を出せば、勝手に接続され、家の中のPCや他端末など覗き放題です。
自宅のルータを「WEP」方式に設定することは、全くお勧めできません。

どうしても接続したい場合、「サブSSID」でWEP暗号化の電波を出し、そちらのSSIDに接続したときはインターネットだけ使える、と言う「プライバシーセパレータ」機能を使ったゲストSSIDを用意すると良いでしょう。

そちらに接続した端末は、家庭内の他の端末は見えず、インターネットだけ使える、と言うようになります。

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WRC-2533GS2 においては、「ともだちWi-Fi」にのみWEP暗号化が設定でき、メインSSIDとは別のSSID・暗号化キーが設定できるようです。

＞https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-2533gs2/usersmanual/04/#section-2

そして「ともだちWi-Fi」は、自宅内の他端末は見えず、インターネットだけ使えるという前述の機能入りであるようです。
こちらを有効にしてみましょう。
(有効にしている間、あなたの家のインターネットは、第三者に勝手にWi-Fi接続されて使われることがあります)

DS の WiFi は、つながってます。
DS のつなごうとしている親局のサービスが終了してて
つながらないのです。
DSのゲームは全てオンラインサービスが終了しています。