WRC1167GST2を設置しましたが接続されませ

WRC-1167GST2（11ac 867+300Mbps 無線LANギガビットルーター）ですね。
https://www.elecom.co.jp/products/WRC-1167GST2.html

製品に添付されている「製品情報」シートを取り出して見てみましょう。
「各部の名称とはたらき」のところの一覧表に、WPSランプの説明があります。
基本的に「赤点滅」と「消灯」の2種類ですが、、、
＞本気のWPSランプは点灯していますが、5ＧＨｚなどのランプは点灯しません。
ということで、どういう操作をした結果、現在の状況になっているのか質問文には記載されていませんので、あくまで予想ですが、前のルーターから「らくらく引っ越し」機能を利用して設定をコピーする操作が完了していないのではないかと思います。

以下の「WRC-1167GST2 ユーザーズマニュアルWEB版」を参照して、もう一度最初から設定をやり直しましょう。
なお、左上の「三 目次をみる」をクリックすると、目的のページに飛ぶことが出来ます。
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-1167gst2/usersmanual/01/

「らくらく引っ越し」機能を利用した設定がうまく出来ない場合は、製品添付の「かんたんセットアップガイド」の「[5-B] 無線接続する（ルーター新規設置の場合）」を参照して設定しましょう。

なお、以下はエレコム製品Q&A「WRC-1167GST2 専用ページ」ですので、適宜、参照してください。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=7880

お引っ越し機能を使われているのですかね？
お引っ越し設定が正しく終わった場合はELECOMのルーターからBuffaloのSSID（無線LANの名前）が出て、ELECOM本来のSSIDは出てこないかも知れません。お引っ越しなのでスマホなどの端末側はこうならないとまたWi-Fi接続の設定が必要になってしまいます。

或いは、WPSのランプがついていて無線LANのランプが点いていないと言うことから、WPSによる引っ越し設定がうまく完了していないような気もします。

一度マニュアルを再確認されてリセットをして再設定するか、設定状態を確認されたほうが良いと思います。

まず、説明書の通りにWRC1167GST2を接続してみる。

二重ルータになっていませんか？
エレコムのルータは自動でモード設定されないので、他にルータがある場合はアクセスポイントモードに切り替える必要があります。
バッファローのルータはネットワークの状況によって自動設定してくれるので、バッファローからエレコムに乗り換えたときに、同様の不具合が発生します。