モバイルバッテリーの不具合

商品ページのスマートフォンへの充電方法として次のような説明があります。

スマートフォン本体に充電ケーブルを接続します。
スマートフォン本体に接続された充電ケーブルの、もう片方の端子を本製品に接続します。
充電ケーブルを本製品に接続するだけで、自動的にスマートフォンへの充電が開始されます。
※自動で充電が開始されない場合はボタンを短く押してください。
安全のため、充電が完了したら、モバイルバッテリー→スマートフォン本体の順でケーブルを外して下さい。

上記の※のように、ボタンを押して充電が始まらないかを確認してみてください。

すでに確認済みであるならすみません。

はんばいてんに相談してみては、使い方が間違っているかもしれませんし、直接見てもらうほうが良いです。

未使用商品ですが

これだけの情報だと　モバイルバッテリーが原因なのか　携帯が原因なのか分からないですね

他にモバイルバッテリーから充電できる機器は無いのかな？　何処が問題点かは自分で検証するしかないと思います

＞残量ランプが点灯しない
充電可能な機器なら点灯する事を確認済みとも感じますが

注意書きとして
Bluetooth®ヘッドセット、イヤホンなど、電流値が低いものに関しては充電できない場合があります。

おまかせ充電機能があるとは言え供給電圧が低過ぎる機器は充電できない　古い３Gガラケーなら非対応かも知れません　バッテリーが原因ではなく　ガラケーが原因かも

DE-C14L-10050BK（QC3.0対応モバイルバッテリー）ですね。
https://www.elecom.co.jp/products/DE-C14L-10050BK.html

上記製品ページに、「対応スマートフォンを激速充電。」と書かれていますので、質問者さんが使用されている「携帯」が対応しているか、対応表で検索しては如何ですか？

スマートフォン対応表
https://www.elecom.co.jp/tables/smartphone?_isquery=&keyWordInput=DE-C14L-10050BK&existOnlyInput=%E7%8F%BE%E8%A1%8C&tab=1&_dispnum=100&_end=#_cttableanchor

句点で終わってないし、質問事項も書かれていません。
「ああ、そうですか！」としか答えようがありません。