WPS 赤の点滅、Power 青色点灯

補足拝見しました。
詳細に書いて頂き、ありがとうございます。
状況が把握できました。

＞品名：GE-PON <M>C GE-PON-ONU タイプD＜1＞2 (三菱電気社製)
＞製造年月：2008年12月
＞LEDランプの状態：認証（緑点灯）、UNI（緑点滅）、光回線（緑点灯）、電源（緑点灯）
ルーターの上流の機器（GE-PON-ONU タイプD）は、問題なく正常に作動していますね。

それで、
＞・ルーターの背面のINTERNETポート脇にあるLEDランプが白点滅しています。
これも、上流のONUとルーター（WRC-X3000GSN）が通信を試みている状態ですので、インターネット回線〜ONU〜ルーターまでは、問題なく繋がっています。
ちょっと予想とは違いましたが、全ての機器が正常に作動しているのであれば、ルーターの設定の問題ということになりますね。

で、問題は、、、
＞回線：フレッツ光（N・ファミリHS）
＞プロバイダー：DTI (光 with フレッツファミリープラン)、接続方式：PPPoE方式
というところの、「プロバイダー情報」と「接続方式：PPPoE方式」がルーターに設定できていないと思われます。
これらが設定できていないと、端末 → Wi-Fi → ルーター → ONU → 光回線と接続しても、この先でどのプロバイダーに向かえば良いか分かりませんので、結果的にプロバイダー（DTI）に辿り着けずインターネットに接続できないことになっているかと。。。
何故か、本来「かんたんセットアップ4」が起動するところが、その直前の段階でストップしてしまっているようです。

ということで、以下のページを参照して、ルーターの初期設定を行いましょう。
エレコム製品Q&A
「「かんたんセットアップ4」が起動しない／ルーターの初期設定をしたい」
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=8102

上記ページに従って「かんたんセットアップ4」を利用しても良いですし、ページを下方にスクロールしたところの「4．ルーターの管理画面から手動設定を行う」の手順で、「WAN&LAN」の「WAN」の画面で、「WANアクセスタイプ」を「PPPoE」にしても設定可能です。
手動での初期設定方法は以下のページを参照してください。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=7886

上記２つのページには、説明の中にも更にリンクが貼られて別の説明に飛んでいたりしますので、よく読んで、ゆっくりと落ち着いて作業してみてください。
何か問題があれば、再度「補足」で質問を繋いでください。

回答No.2です。

＞Step3で、Androidスマホから、Wi-Fi設定で、かんたんセットアップシート（初期値）のSSDI(Wi-Fi名)を選択し、パスワードに暗号キーを入力しましたが、しばらく接続をトライした後、Wi-Fi名の下に「接続済み、インターネット接続なし」と表示されてしまい、つながりません。
＞何度も暗号キーを入力しましたが、状況が変わりません。（暗号キーが保存されていないようです。）Windows PCでも同様にインターネット接続ができません。
＞ルーター状況：WPS 消灯、2.4GHz 白色点灯、5GHz 白色点滅、POWER 緑色点灯

ルーターの状況は、ルーターモードで正常に稼働していて、5GHzで端末（Androidスマホでしょうか？）と通信しているようですね。
また、2.4GHz帯域も通信はしていないものの電波が飛んでいる状態のようです。
ですので、Wi-Fi（WRC-X3000GSNは発信している電波）には繋がっていますね。
但し、インターネットには繋がっていない・・・という状況だと思います。

こういう場合、ルーター（WRC-X3000GSN）というよりも、その上流（インターネット）側にある機器に問題がある可能性があります。
上流側の機器はNTTの機器ですか？
NTTの機器であれば、機器正面の一番下に型番が記載されていると思いますので、それを「補足」で教えて下さい。
インターネットの回線に接続しているのはルーターではなく上流の機器ですので、ルーターの情報だけでなく上流の機器の情報も重要です。
本来は、ネット接続を構成する全ての機器を、最初の質問に記載すべきです。
あと、できれば回線情報（光回線なのかCATVなのか、光回線なら光ケーブル直結かVDSLなのか、XXX光などの名称・・・など）やどういうプロバイダーを使っているのかも分かれば、原因解明の手がかりになりやすいですね。
ルーター単体ではインターネットには接続できませんので、明らかにWi-Fiの電波が拾えない・・・という場合を除いては、ルーター以外の機器構成なども含めて、全体像を考える必要があります。

取り合えず、先ず出来ることとしては、上流の機器のLANポートとルーター（WRC-X3000GSN）のINTERNETポート（青色）を接続しているLANケーブルが、間違いなく適切なポートに接続されているかの確認と、ケーブルがそれぞれのポートにカチッと緩みなく挿し込まれているかを確認しましょう。
ケーブルの接続が緩んでいると、上流の機器とルーターが通信できず、インターネット接続が出来ません。
それと、LANケーブルが折れ曲がっていると、内部で断線している可能性がありますので、その場合は新しいケーブルと交換しましょう。
更に、ルーターの背面のINTERNETポート脇にあるLEDランプが白点灯、または白点滅しているか確認しましょう。
ルーターのLEDランプの状態の説明は、WRC-X3000GSNに製品添付されている「製品情報」シートに記載されていますので、参照しましょう。

では、「補足」で上流側の機器の型番（NTT以外の場合はメーカー名も）と、その機器のLEDランプの名称と状況（色、点灯、点滅、消灯）を教えて下さい。

WRC-X3000GSN（Wi-Fi 6(11ax) 2402+574Mbps Wi-Fi ギガビットルーター）ですね。
https://www.elecom.co.jp/products/WRC-X3000GSN.html

先ず、
＞他のルーターからの交換で、「ELECOMかんたんセットアップガイド」の流れに沿って作業を進め、Step3で「WPS 消灯、2.4GHzと5GHz 白色点灯、Power緑」になりましたので、Step4に進みました。
ということですが、「交換で」ということは、「らくらく引っ越し機能」を使用して、古いルーターの設定をコピーしたということでしょうか？
そうであれば、「らくらく引っ越し機能」でのコピーは成功しているようですが。。。

古いルーターはルーターモードで使用していたのですか？
当たり前の話ですが、新しいルーター（WRC-X3000GSN）を古いルーターと置き換えるのであれば、新しいルーターも古いルーターと同じモードで使用するのが基本ですが、、、
＞APにして電源を入れ直し
ということをしているのは、古いルーターはAP（アクセスポイント）モードで使用していたのでしょうか？
質問文を読む限りこの辺りがはっきりしませんので、再度、確認されては如何かと。。。

＞これまで使用していたノートPCのWiFi設定で、本ルーターのSSIDが表示された
この「本ルーター」というのはWRC-X3000GSNのことですか？
それで、「本ルーターのSSID」というのは、古いルーターとは異なる、WRC-X3000GSNに付属している「かんたんセットアップシート（初期値）」に記載されているSSIDですか？
「らくらく引っ越し機能」でのコピーが成功していればSSIDは古いルーターと同じものになりますので、WRC-X3000GSNに付属している「かんたんセットアップシート（初期値）」に記載されているSSIDは見つかりませんが。。。

どうも自己判断でかなりおかしな操作をしてしまっているようですので、一度、新しいルーター（WRC-X3000GSN）を初期化して設定し直しましょう。
初期化の方法は、WRC-X3000GSNに付属している「製品情報」シートに記載されていますので、参照してください。

次いで、古いルーターをルーターモードで使っていた場合は、「らくらく引っ越し機能」で古いルーターの設定を新しいルータに引き継ぎましょう。
それは、もう一度「かんたんセットアップガイド」を良く読んでから、ステップごとに確認しながらゆっくりと進めて下さい。
それで、Step3で古いルーターのWi-Fi接続情報のコピーが終わったら、古いルーターは使いませんので電源オフしてください。
あとは、パソコンで古いルーターと同じSSIDを見つけて、古いルーターの暗号化キーを入力すればWi-Fiには繋がるはずです。

また、古いルーターをAP（アクセスポイント）モードで使っていたのであれば、古いルーターにはインターネット接続のための情報は設定されていませんので、「らくらく引っ越し機能」での設定のコピーは必要ありません。
ルーターをAP（アクセスポイント）モードで使う場合は、上流（インターネット）側に別のルーターがある場合です。
ひかり電話を使っていて、光電話ルーター内蔵のホームゲートウェイを使っている場合や、既設のルーターに繋いでAP（アクセスポイント）モードで使う場合がこれに相当します。
この場合は、上流側の機器のLANポートと新しいルーター（WRC-X3000GSN）のINTERNETポートをLANケーブルで繋げばOKです。
あとは、パソコンからWRC-X3000GSNに付属している「かんたんセットアップシート（初期値）」に記載されているSSIDを見つけて、同じシートに記載されている暗号化キーを入力すればWi-Fiに繋がります。

兎に角、古いルーターをルーターモードで使っていたか、AP（アクセスポイント）モードで使っていたかを確認して、初期後の操作を行いましょう。

不明点などあれば、「補足」で質問を繋いでください。

「初期化」する
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-x3000gsn/usersmanual/07/section05.html
再設定
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-x3000gsn/usersmanual/05/?anchor