SSID名の変更

①elecom-XXXXXXのネットワークに接続している状態で検索ブラウザを立ち上げて上部にあるアドレスバーに「192.168.2.1」を入力してください。

②管理画面アクセスのためのユーザー名/PW尋ねられるので、かんたんセットアップシート記載のログインID/PWを入力して管理画面ヘ入ってください。

③「友だちWi-Fi」や「こどもネットタイマー」などカラフルな画面が開いたら青色の「Wi-Fi」を選んで、次の画面で「メインSSID」を選択してください。

④次の画面で2.4Gと5Gのタブがありますので、それぞれのタブの「SSID」を変更してオレンジ色の適用ボタンを押してカウントダウンが終われば設定完了です。

＞本体のリセットボタンを10秒押しましたが、SSID名がインターネット経由で
登録されてるのか、名前が変わりません。
本当にリセットできていれば、SSID名はクリアされます（初期値では何も設定されていません）ので、名前が変わらないということは、リセット出来ていないと思われます。

再度、以下のページを参照して、リセットを実行しましょう。
エレコム製品Q&A
「「SkyLinkManager」対応ルーター（大型ルーター）リセット方法」
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=6585

インターネット接続が気になる場合は、インターネットと接続されているケーブルを外して、インターネットと切り離してリセットしましょう。

リセットではSSIDは変わりませんよ。

あなたが以前、変更し時と同じ手順で変更してください。

スマホやタブレットで「SkyLink Manager」というアプリを使って
ルーターに入り込んで設定を変える仕様のようですが、
そこで変更を試みてください。

https://www2.elecom.co.jp/search/manual/search.asp?kataban=WRC-1167GHBK3-A
上記ページの「14.ユーザーズマニュアル [PDF形式]
を見るといいかもです。