中継機モードからルーターモードへの変更について

回答No.1です。　追記です。

＞最初に述べたWi-Fi接続の不具合は、2日前に行ったWRC-1167GHBK2-Sの中継機設定が原因(もしくはその可能性があるの)でしょうか？
についてですが、、、
＞しかし本日(関係があるかはわかりませんが)そのルーター”A”と繋がっているにもかかわらず、スマホやパソコンがWi-Fiと繋がらないという不具合が生じました。
ということですよね。

「ルーター”A”と繋がっている」という表現は、ルーター”A”の電波は掴んでいる＝扇形のマークはしっかりと確認できる・・・ということですか？
そうであれば、ルーター”A”の無線LANとは繋がっていますので、Wi-FIとは繋がっていますよ。
それでも、インターネット接続ができない・・・ということではないですか？

Wi-Fiは、単にルーターが飛ばしている電波のことです。
Wi-Fi＝インターネットではありませんので、間違わないようにしましょう。
Wi-Fiに接続できない＝ルーターの電波を掴めない・・・のか、
Wi-Fiには繋がるがインターネットに接続できない・・・のかでは、
全く意味合いが異なりますので、表現には注意しましょう。

Wi-Fiには繋がっているのにインターネットには繋がらない・・・となると、ルーター”A”の不具合とは言えないかも知れませんね。
WRC-1167GHBK2-Sをルーターモードにしてみても、同じことになるかも知れません。

それで、ルーターの上流（インターネット）側の機器にはLEDランプがあると思いますが、LEDランプの状態は、何色で点灯、点滅、あるいは消灯していますか？
LEDランプの状態で、上流側の機器の状態を判定することが出来ますので、取扱説明書があれば見比べてみてください。
もし、取扱説明書が見当たらなければ、「補足」にLEDランプの状態と、上流側の機器の型番（NTTの機器であれば正面の下に記載されています）を記載して貰えれば、こちらで判定します。

また、上流側の機器とルーター”A”との接続は、正しく緩みなく出来ていますか？
上流側の機器に不具合が発生していなくても、上流側の機器とルーターとの接続がきちんと出来ていない（LANケーブルなどが緩んでいたり断線したりしている）と、インターネットに接続できなくなります。
あと、ルーター”A”の背面にあるINTERNETポート（青色）の脇にあるLEDランプはどういう状態でしょうか？
点灯あるいは点滅であれば、上流の機器とは通信可能な状態ですが、消灯していると上流の機器と通信できていません。

加えて、インターネットプロバイダーや光回線事業者側でのメンテナンスや故障対応などでも、インターネット接続ができなくなることがありますので、お使いのプロバイダーのホームページなどで、故障情報などが出ていないか調べてみることも重要です。

マニュアルにはこの様に書かれてます
中継器モードから他の動作モードに変更するには本体背面のリセットボタンを10秒以上押し続けて、初期化（工場出荷時の状態）に戻します。

一度、中継機モードに設定して使用していたルーター（WRC-1167GHBK2-S）を、再度、ルーターモードに戻すには、WRC-1167GHBK2-Sを初期化する必要があります。
初期化の方法は、WRC-1167GHBK2-Sに製品添付されている「製品情報」シートに記載されていますので、参照しましょう。
初期化後に、インターネット接続のための初期設定を行ってください。

なお、WRC-1167GHBK2-Sのマニュアル類が手許になければ、以下のページからダウンロードしてください。
https://www2.elecom.co.jp/search/link/search.asp?kataban=WRC-1167GHBK2-S&link_type=2

また、以下はエレコム製品Q&A「WRC-1167GHBK2-S 専用ページ」ですので、適宜、参考にしてください。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=7505