小型カードリーダー(MR-A39N)が使えない。

何かメッセージが出てるかどうかで結構変わるのですが、
ほかのPCで動作確認できるのであれば試してみてどうかです。
改善しない場合は製品不良の可能性がありますね。
保証期間が6か月なのでエレコムのサポートに問い合わせたら何かしら対応してくれると思います。

回答No.3です。　追記です。

＞小型カードリーダーを5か月前に買い
ということですが、MR-A39Nの保証期間は6ヶ月です。
以下の製品ページを下方までスクロールして「仕様」一覧の「保証期間」を確認しましょう。
https://www.elecom.co.jp/products/MR-A39NBK.html

故障と思われるようでしたら6ヶ月以内にエレコムのカスタマーサポートに連絡しましょう。
通常使用による故障であれば無償修理か交換になるかと思います。
6ヶ月を過ぎると有償修理になりますので、ご注意を。。。

以下のページを参照してみましょう。

エレコム製品Q&A
「USB機器が認識されない場合の対処・誤認識デバイスの削除方法」
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=2682&category=&page=1

関係ないかもしれませんが、わたしもカードリーダーが使えなくなった時がありました。
win10が20H2にバージョンアップしたとき使えなくなり、調べたら、デバイスマネージャーのUSBルートにビックリマークが出ていました。
該当を削除したところ、自動的にドライバがインストールされ使えるようになりました。

別のカードリーダーを差し込んでOKなら、その小型カードリーダーの故障です。別のカードリーダーを差し込んでNGなら、PCの故障です。