ルーターを中継器モードに設定できません

こちらのサイトで手順を試してみて下さい。
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=7333

２０秒後「インターネットに接続できません」という画面になります。
結論から申し上げますと、問題なしです。
設定が成功した場合、WRC-1167GEBK-Sの無線は親機はWRC-1167GS2H-Bの無線名に上書きされ、
WRC-1167GEBK-Sの管理画面にアクセスできなくなるからです。

WRC-1167GS2H-Bの電波が飛ぶ範囲内でWRC-1167GEBK-Sの電源を入れると、今まで電波が入らなかった場所にWRC-1167GS2H-Bの電波が飛ぶようになると思います。

手順
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=7333
12番まできて、２０秒後に「接続できません」となっっているなら
設定自体は完了していますが、親機との接続ができていない状態かと思われます

親機との接続ができている場合は、手順9で選んだWi-Fiの周波数によって
2.4GHz/5GHzのWi-Fiランプのどちらかが点滅するはずですが、していないでしょうか？

していない場合は以下が考えられます
1.入力した暗号化キー(Wi-Fi接続パスワード)の入力に誤りがある
2.親機からのWi-Fiが電波干渉等により中継可能なほどの通信状況を満たしていない
3.製品故障

1.については誤っていても設定可能であることとと
　大文字小文字の区別もありますのでご注意ください

　12番まで設定したあと、Wi-Fiランプが点滅しない場合、
　親機のWRC-1167GS2H-Bと中継機のWRC-1167GEBK-Sの
　両方のWPSボタンを5秒以上長押しすることで、
　暗号化キーを入力せずに再設定することも可能です　

2.については、中継機にする機種が親機の近くでも
　2.4Ghz5GhzのWi-Fiランプが点滅しないなら、
　親機側の設定画面でWi-Fiのチャンネル幅＆チャンネル変更することで
　中継できるようになるかご確認ください
　■WRC-1167GS2H-Bのチャンネル変更手順
　http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=8127

3.については購入から1年以内なら
　エレコムのサポートに相談して製品交換してもらってください

Wi-Fiランプが点滅しているのに「接続できません」となる場合は、
中継自体は成功しているため、中継機を設置予定の場所で電源をいれ
Wi-Fiランプが点滅したことを確認の上、中継機の近くで
親機と同じ名前のWi-Fiに再接続し、インターネットが利用できるか
ご確認ください
※すでに親機と接続している状態のままだと、
　親機のWi-Fiの状態が表示されるため、
　中継機の近くでも電波の状態は改善しません

手順
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=7333
13番までは来ましたか？

中継器モードの設定が有効になるとWRC-1167GEBK-Sの持つIPアドレスは親機WRC-1167GS2H-Bから付与されるものに変更されるので、これまで接続していたPCは接続を維持できず「インターネットに接続できません」となってしまっているのだと思います。

実際は192.168.2.XXXという具合に親機のWRC-1167GS2H-BからIPアドレスを付与されているので、WRC-1167GS2H-Bから中継器WRC-1167GEBK-Sに付与されたIPアドレスをPCのブラウザに入力すれば再度設定画面に到達できると思います。マニュアルにあるPCのIPアドレスを固定する方法は取らなくても、192.168.2.100～200の範囲で適当にあたりをつけるか、親機の設定画面にある接続端末を表示できる機能でWRC-1167GEBK-Sを見つけられればそのIPアドレスで設定画面にアクセスできます。

他方で、中継器は親機WRC-1167GS2H-BのSSIDで飛んでいる電波を中継して受信可能範囲を拡大するのが役目なので、WRC-1167GEBK-S独自のSSIDは敢えて設定しない限りは見えないはずです。

親機WRC-1167GS2H-Bから離れてWRC-1167GEBK-Sを設置した範囲で、親機WRC-1167GS2H-Bからの電波の受信感度が改善されていれば設定は完了して中継機能を果たしていることになります。