スマホに、ログイン無しで見れるアイコンを置きたい

「筆まめクラウド住所録 for Android」のことなのでしょうか？

どのアプリにしても、
>ログインした状態のアイコンを置ける方法
というのはないのですよ。

なにがしかのIDとパスワードを入力・ログインして使えるようになるサービスは、ログインしなければ使えません。（あまりに当たり前のことなので日本語が変）
今まで毎回IDとパスワードを入力しなくても使えたのは、そのアプリやブラウザが「IDとパスワード」を覚えていて、その都度自動的にログインしていたからに他なりません。

・クラウドやアプリの仕様が変わった
・あなたがID/パスワードを記憶しないように設定した
・保存されているID/パスワードやcookieを削除した
からなのかは私には判りませんが、ログインのための処理は、自動入力にせよマニュアル入力にせよ「使う度に行うもの」。そして今の状態が「マニュアル入力になっている」だけの話です。

パスワード管理等のセキュリティ設定に関係するところを弄ったりはしていませんか？アプリの仕組みが判らないので何とも言えませんが、ブラウザで覚えたID/パスワード情報を共有しているのかも。アプリ自身はID/パスワード情報を記録せずにブラウザが記録した情報を使っていて、ブラウザを「ID/パスワードを保存する機能をオフ」する設定にしたとか？

…という辺りのことでは？

ブラウザの「ID/パスワードを保存する機能をオン」にして、１度ブラウザでクラウドにログインしてみては？
私はそのアプリのユーザではないので確認はできませんが。