ノートパソコンの購入-デスクトップとの違いや設定について

３万円以下でDVDドライブが付属しているもの、といえば下記でしょう。
Lenovo G570
製品情報　http://shopap.lenovo.com/jp/ja/products/laptops/essential/g-series/g570/
価格情報　http://kakaku.com/item/K0000280502/

他の回答者様の回答にもあるように、家中どこでも使いたい、というのであれば無線LANという設備を増設する必要があります。
上記PC本体には無線LANの設備が搭載されていますので、デスクトップPCに繋がっているLANのケーブル（その「友人さん」が繋いだケーブルですね）を下記製品に繋ぐと良いでしょう。
Buffalo 無線LAN親機 WHR-G301N
http://buffalo.jp/products/catalog/network/whr-g301n/
http://kakaku.com/item/K0000071174/
別途この機械とPCを接続するケーブルが付属されていますので、それを使用してPCとも繋ぎます。
元の線---WHR-G301N---PCという形での接続です。

無線LANの設定はワンタッチでできます。詳細は説明書が添付されていますので簡単かと思われます。

現在WHR-G301Nは価格.comで3000円ぐらいで購入できますから、両方合わせても33000～35000円ぐらいで大丈夫でしょう。

以上、ご参考まで。

安くて性能が良いものなら「マウスコンピュータ」をお勧めします。

＞以前に、私のデスクトップにつないでいるモデムからの線？を友人のノートパソコンに差し込んだら
友人のパソコンはネットが使用できました。
→モデムに複数のLANケーブルが接続できるなら、LANケーブルを購入すれば大丈夫です。
ノートパソコンには無線LANの機能がついているので、無線ルータを購入するのもありですね。

「無線LAN」などで検索すると、概要がわかるかも知れませんよ。
PCライフをエンジョイしてください。

「無線LANルーター」と言う機材を電気屋さんで購入すれば線を繋がなくても使用できます。
その場合、無線LANルーターの初期設定と、パソコン側に無線LANの接続設定が必要になります。
どちらも設定方法はそれぞれの機材の取扱説明書に書かれています。

ただ、無線LANルーターのある部屋と違う部屋でノートPCを使用する場合、
建物に鉄筋が入っていると電波が通りにくくなるため接続が途切れがちになったりすることがあります。
なので無線LANルーターはパソコンを使用する部屋に置いたほうが快適に使用できると思います。

お勧めパソコンまではわからないので他の方に任せますが…
無線LAN非対応のノートパソコンは今時まずないのでいいとして、Skypeを使用するならマイクが内蔵されているか、少なくともマイクの差込口のあるパソコンの方がいいかなと思うので選ぶ際はそこも確認した方がいいかと思います。

１．3万円はちょっときついですが4万円台ならDELLあたりで探せばオプション無しで普通に使えます。
ただし、Officeはそれを付けて買うだけでプラス2万円ちょっとはします。別に単体で買ったら3万円以上しますので、必要に応じて判断して下さい。

２．すぐにとは言えませんが、だいたい電源を入れて（最初は絶対にACコンセントに繋いで下さい）、PCが聞いてくる順番に答えていったら使えます。ネットですが、現在ルーターを使っているなら、つなぎ替えるだけで使えます。ただ、ネット回線がルーター無しで使っているようだと同時に2台繋げられないので、ルーターを買う必要があります。もし、ルーターを買うなら無線LAN機能付きを買えば、隣の部屋でコードを使わないでノートが使えます。もし、ルーターを使っているようなら、無線LANの親機だけを買えば良いです。