google play　開発者サービスを停止します

https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-TE510BAL
こちらですね。
Android 5.0と古く多くのアプリが対応を打ち切ったOSですのでそろそろタブレット自体の買い替え時かも知れません。

眠っていたタブレットを立ち上がらせた結果
https://ameblo.jp/matatabikaidatama/entry-12726799961.html
パスワードを忘れたAndroidスマホやタブレットを強制的に初期化する
https://hirogura.com/2018/08/30/post-28987/
などを参考に強制初期化してみる手はありますね。

Android端末の紛失時にリモート(遠隔)で初期化してデータを削除する方法-Androidデバイスマネージャー活用法-
https://androidlover.net/googleapps/android-device-manager/android-lost-remote-factory-reset-using-android-device-manager.html
また、Wi-Fi接続している状態なら遠隔で初期化するような手もあります。

Androidタブレット製品の「動作が遅い」、
「バッテリーの大量消費、発熱」症状に関するお知らせ
https://support.nec-lavie.jp/navigate/support/info/20180725/
みたいな問題もありましたが今回のとは直接関係しないかも知れませんね…

対処方法「問題が発生したため、Google Play開発者サービスを終了します」が繰り返し表示する場合
https://sumahosupportline.com/%E5%AF%BE%E5%87%A6%E6%96%B9%E6%B3%95-%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%8C%E7%99%BA%E7%94%9F%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%9F%E3%82%81-google-play-%E9%96%8B%E7%99%BA%E8%80%85%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%93%E3%82%B9/
などを参考にしてみるとか。

古いタブレットなのでファクトリーリセット（出荷状態に戻す）ができるかもしれません。以下試してみてはいかがですか。できなかったらタブレットの買い替えを検討したらいかがですか。

１．電源がOFFの状態で
２．音量小/大（大/小は機種によつて異なる）ボタンを押しながら、電源ボタンを長押しし続ける。
３．ブートローダが起動したことを確認して、音量大ボタンと電源ボタンから指を離す。
４．ブートローダが表示するメニューから音量大または音量小ボタンを押すと、カーソル位置が変わるので、
　　wipe data/factory reset　を選び
５．電源ボタンを押すと　wipe data/factory reset　が実行される。

「開発者サービスを終了します」の解決方法
https://www.iscle.com/web-it/g-drive/g-play/kaihatsusya-service.html