HDD内ファイルへのアクセス拒否について

No.6です。
> "common"というファイルだけを移動させるのは大丈夫でしょうか？

おそらく、PCが起動出来なくなるという致命的なことにはならないと思います。
私なら「案ずるより産むが易し」ということで、実際に試してみます。
他人に聞いても何の保証も無いからです。
トラブルが発生した場合は、元に戻すか、トラブルを一つづつ、解消していけばいいです。

一般論ですが、インストーラーを使用してインストールした結果として作成された、Program FilesやProgram Files(x86)にあるフォルダやファイルは、場所変更しないのがベターです。

場所変更しても構わない場合は「そのプログラムの関係するフォルダ、ファイル、レジストリ」を自分で把握できている場合です。
自分で把握できているのであれば、他人には聞かないはずです。

ゲームのプレイ内容・キャラクタ内容をセーブしているファイルだけ移動すれば良い。

設定ファイルを書き換えてファイル移動も可だろうだけど初心者には難しい。私も面倒なのでやらない。セーブデータ以外のプログラム・背景のファイルなどをSteamのインストーラーから入れ直す。

移動させてはいけない環境なので、アクセス拒否されている、と理解してください。
添付画像右側の画面は D:¥ (つまり、ドライブD)のセキュリティ情報です。
アクセス拒否されているのは D:¥program Files フォルダですので、D:¥program Filesのセキュリティを確認してください。
なお「Administratorsの操作です」と書いてありますが、「管理者ユーザーの操作」ではありませんか？

もうオンラインゲームはやっていないので、今の状況って良く分からないのですが、ゲームのキャラデータってサーバーに保存されているのではないのですか？
間違っていたらごめんなさい＞＜

可能は可能ですが、レジストリを操作しますので慣れていない方にとってはかなり危険です。移動に失敗するとWindowsが壊れパソコンが使えなくなります。もし、Cドライブの空きが逼迫し空きを増やす為なら以下の方法を試してみてください。

１，昔インストールしたものの、今は使っていないソフト（アプリケーション）ってありませんか？もしそういったソフトがあるならデータを完全に削除してしまいましょう。また、自分がインストールした覚えのないソフトに関しても同様に削除してください。
アプリケーションの追加や削除を行う方法　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=013751

２，ディスククリーンアップをする。
Windows 10でディスククリーンアップを実行してディスクの空き領域を増やす方法　→　https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=018335

３，CドライブにあるWordやExcel、その他画像ファイルや音楽データなど、システムに関係ないファイルはDドライブに移動します。

Windows 10/8/7で、Cドライブがいっぱいになって、program filesを別ドライブ（例えばDドライブ）に移動する方法　→　https://www.ubackup.com/jp/articles/move-program-files-to-another-drive-windows-10.html
レジストリとは　→　https://wa3.i-3-i.info/word113.html