ネットに繋がっているがサイトが開かない

光回線はどこの会社と契約していますか。
フレッツ系だとしたらプロバイダはどこでしょうか。
ルータの型番は何でしょうか。

ご質問の症状は、IPv6通信だけ有効になっている感じです。
GoogleやYoutubeはIPv6だけでアクセスできるのですが、
既存のサイトはIPv4でしか繋がらないことも多く、当分IPv4通信も必要になるのです。

で、インターネット契約で「IPv4 over IPv6」方式が有効になっていても、ルーター側で「IPv4 over IPv6」に対応していないと、IPv6でしか繋がらず、ご質問にあるような症状となります。
「IPv4 over IPv6」対応のルータに買い替えるか、お持ちのルータでも「PPPoE接続」を設定すると、IPv4インターネット通信ができるようになり、全サイトに繋がるでしょう。

「PPPoE接続」に必要なIDとパスワードは、プロバイダ開通書類のどこかに書いてあるはずです。

Wi-Fiの再起動においては、
下記ページの要領で再起動をすることにより改善する可能性があります。
一度されてみてはいかがでしょうか？
https://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s20269.htm

Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・工場出荷状態に初期化
・WPA3⇔WPA⇔WPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHz⇔2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・バンドステアリングをOFFにする（あれば）
・ビームフォーミングをOFFにする（あれば）
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://internet.watch.impress.co.jp/docs/column/homewifi/1141132.html