firetvで「ひかりtvどこでもlite

チューナーの「ホームサーバー機能」を有効にしていますか？

下記ページで初期設定の手順を確認してみてください。

【Amazon Fire TV視聴マニュアル】
https://www.hikaritv.net/user/various/firetv/

自宅インターネットで使われているルータはどのような機種でしょうか。

「Fire TV Stick」から「ひかりTVチューナー」にアクセスするため、有線・無線LAN接続した端末間の通信ができる環境でなければなりません。

モバイルWi-Fiルータは初期状態で「プライバシーセパレータ(端末間の通信を禁止)」する機能がオンになっていたりしますし、家庭用ルータでも「無線LAN・有線LAN間の通信許可」が必要だったり「異SSID間通信遮断」という機能が存在したりします。(ルータにより機能・名称はさまざま)
これらは、セキュリティの弱いSSIDに勝手に接続されたとき、LAN内のパソコン等がハッキングを受けないようにとの配慮なのですが、「ひかりtvどこでもlite」アプリを使うためには、有線・無線間の通信ができる設定でないといけません。

また、ルータ機能で通信拒否はしていなくとも、家庭内に複数のルータがあって「二重ルータ」状態になっていると、外側LANの端末から内側LANにいる端末が見えなくて、通信できないというパターンもあります。
この場合、内側ルータの設定を「ルータモード」でなく「アクセスポイントモード(または中継器モード)」に変更することで、自宅LANすべてが同一ネットワークとなり、通信可能になるでしょう。

ということで、ルータ設定を見直してみてください。