WiFi接続で印刷できない問題について

まずは
お使いの無線LANルーターを再起動（ルーターのACアダプターを抜いて1分ほど待って再通電）し、
ついで、
DCP-J582Nとパソコンを再起動させて、確認してみてください。

NGの場合は、続けてパソコン側で、
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9968
にそって、
・通常使うプリンターに設定されているか
・Windows側で一時停止やオフライン状態になっていないか
を確認してください。

いずれも該当しない場合は、
「ポートの再設定」という作業を行います。
あらかじめ、
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9224
にそって、ネットワーク設定リストをお手元に用意し、
<Node name>の項の値（BRW...ではじまる値）を確認しておいてください。

<Node name>の項の値を確認できたら、
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9969
を開いて、「新しいポートを追加する」を参照し、
手順4の、「プリンタ名または IPアドレス」のテキストボックスには、
IPアドレスではなく、<Node name>の項の値（BRW...ではじまる値）を半角英数（A-Fの英字か0-9の数字です）で正しく設定してください。

これで設定が完了したら、あらためてパソコン側から、プリンターのインク残量などを参照できるか、確認してみてください。

※なぜ<Node name>の値で設定するのか：
多くのご家庭では、ネットワークの管理を楽に行うため、
IPアドレスが変動するDHCPと呼ばれる環境で運用されています。
ポートをIPアドレスで設定してしまうと、
違うIPアドレスが割り当てられ都度、またポートの再設定をやりなおししなくてはいけなくなってしまいます。
これでは非常に面倒なので、プリンター固有の<Node name>を適用することで、再設定の手間を減らしています。
IPアドレスを固定する方法もありますが、ルーターやネットワークの管理経験が少ない方が行うと、この先、ルーターを買い換えたとか、プロバイダーを変えたときに大ハマリすることがあるので、
ブラザー機では、<Node name>での設定を推奨するスタンスでご案内しています。

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

また、プリンタドライバーは入れ直しされましたでしょうか？
本体のファームウェアの更新・Windowsの自動アップデート・無線LANルーターのファームウェア自動更新により、至る所であらゆる影響を受けている模様です。
今回その影響かどうかはわかりかねますが、付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直す事により改善する可能性があります。
（無線LAN接続の方は他の機器の接続数が多いとチャンネルが変更されていたりします）

・プリンター本体の操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用する
　※コントロールパネルでのアンインストールツールを試してみる
　※セキュリティソフトを一時停止する
　※フルパッケージではなく、一つ一つインストールする
　※付属CDを使用してみる
　※高速スタートアップにチェックが入っていたらチェックを外して再起動
　※プリンター本体を購入時状態に初期化する

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

ドライバーを入れ直してみてください
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj582n&os=10013
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
(USBケーブル,LANケーブル接続の場合,USBケーブル,LANケーブルを外しアンインストール後再起動をかけ再度インストール)
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください
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WiFiは通じているというのは、プリンタもPCも同じアクセスポイントにWi-Fi接続できているということでよいですか？