一週間に一度は印刷したほうが長持ちする?

純正インク以外は保証対象外ですが、それでも一週間に一度程度の印刷とプリンターの電源を入れたままの方が、自動メンテナンス（ヘッドとインク）を実行しますので、総合的には動作が長持ちすることになるかと思います。

電源を切ったまま放置すれば、ヘッドの目詰まりの原因になり、修理になる場合が多いかもしれません。
ヘッドが目詰まりしたら修復が大変ですよね。

何が長持ち？ではありますが

インクにも消費期限がありメーカーは半年程度で使い切る事を推奨しています
通電待機状態にしておけば自動クリーニングが作動するので推奨期間でインクが無くなる　残っていても交換していけば目詰まりを起こす確率は減らせます
紙代がもったいないからヘッドクリーニングという方法もありますが　廃インクが一杯になると修理が必要になってしまう

純正インク以外を使った経験がないですが　購入から１年間の無償保証なので　それ以降は変わらないかも？知れません
ただ　外品がセットされていると純正に交換されるので　そのインク代も修理費用に加算されるかも知れません

時々は印刷しないとインクが固まって目詰まりしてしまいます。
特にこれからは大変乾燥するので、　要注意です。
当方もブラザー製のコピー機ですが、　お昼頃になると自動でインクの目詰まり防止目的のメンテナンスが始まります。　インターネットに接続していれば可能な筈ですが、　そちらの機種が対応しているか確認してみるといいです。　自分で時々印刷する作業の面倒が無くなります。　但し、　純正インクで無いと検知不能でできないかもしれません。　また、　コピーの頻度があまり多くないのであれば、　純正インクでないとトラブルのリスクが高くなり、　また保証や修理も不利になり易いので、　純正インクにしておいた方が安心です。

純正インク以外を使用していたら保証外になります
一週間に一度は印刷したほうが長持ちする?
　ノズルが詰まるのを防ぐ役割もしますのでその方が良いですね

保証対象外となる場合もあります。
非純正品の使用リスクを踏まえ使用の判断をご検討されてみてはいかがでしょうか？
製品を損傷させる可能性があります（ノズル内部）
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/product/original/ink/ink2/index.aspx

ブラザー純正インクのご案内
↓↓↓↓↓
https://download.brother.com/pub/jp/j-mfc/supply/ink.pdf

ブラザーインクジェットプリンター
互換インクカートリッジ・詰替インク
印刷比較試験レポート
↓↓↓↓↓
http://210.200.29.195/test-report/Allion_InkJetPrinter_BenchmarkTestReport_112911.pdf

また、インクカートリッジには品質保証期限が明記されております。また、開封済みのインクカートリッジは6ヶ月を超えるとインク品質が低下しますので、6ヶ月以内に使い切ることを推奨します。

プリンターは「継続使用すること」を前提に製造されております。
年賀状作成のタイミングでしか印刷されないような使いかたでしたらあっという間にインクの目詰まりが起きてしまいます。
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかによってプリンターの寿命は変わっていきますのでご注意ください。