ルータを変更してからWiFiで使えません

詳細に確認結果を教えて頂きまして、ありがとうございます。

>先ほど家人のPCのWiFi設定を手入力してみましたが問題なく接続出来ました。
この方のPCを使って、無線設定を試してもらうことはできないでしょうか？！

NECルーターに無線接続中のPCを使って、「一時的にUSBケーブルを使用して設定する」を行えば、
そのPCの無線設定情報がそのままプリンターに送り込まれるはずです！

※アドホック設定の仕方は、動画がありましたのでご参考まで、URLを貼っておきます。
https://www.youtube.com/embed/ktBhFAQfgzA?rel=0&modestbranding=1

インフラストラクチャーモードの確認は、操作パネルから行えます

操作パネルのメニューから３．ネットワークを選択
更にそこの階層のしたの６．ムセンジョウタイ→４．ツウシンモード

ここがインフラストラクチャーになっているのか、アドホックになっているのかです

AtermWF300HP2のＷＡＮポートは固定回線と接続する為にケーブルを挿してあると思います

このケーブルを一旦外し（パソコンを繋いでいるＬＡＮポートのケーブルはそのままで）、AtermWF300HP2の底の、動作モード切替スイッチをＲＴ（ルータ）側に切り替えてから、AtermWF300HP2の電源を落として再起動させてください

AtermWF300HP2がルータモードで起動したら、パソコンでもう一度ＩＰアドレスを確認しておいてください

パソコンでＩＰアドレスの取得が正常に出来ているようならば、DCP-J552でプライマリＳＳＩＤに接続を行ってみてください

この時に、ＷＰＳ機能を使わずに手動で接続を行ってみてください
手順は、かんたん設置ガイドの39ページから記載されています
http://support.brother.co.jp/j/b/manuallist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj552n&flang=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E&type3=1093&type2=1007

DCP-J552がＩＰアドレスを振る状態になっているので、パソコンで確認したＩＰアドレスと同じネットワークアドレスのＩＰアドレスが取得できるはずです

単独でAtermWF300HP2をルータモードで動かしても、DCP-J552のプライマリＳＳＩＤに接続できないでしょうか？

iPadで指定しているSSID/暗号キーは、プリンターに入力している値と一致しているということでしょうか・・・

パソコンは無線接続しているのでしょうか？
もしかしてパソコンは、有線LAN接続ですか？

一時的にUSBケーブルを接続して設定する方法は、
パソコン側も無線接続しているのであれば、
パソコンの無線設定情報を自動で読み出して、プリンターに送り込みます。
パソコンは有線接続しているということであれば、
無線設定情報がパソコン内に存在しないため、結局、
暗号キーを手入力することになります・・・

パソコンも無線で接続しているにも関わらず、
手入力の流れになったのでしょうか？
それとも自動設定が完了したにもかかわらず、
「アクセスポイントが見つからない・・・」
とエラーリストが印刷されてくるのでしょうか？

暗号キーを手入力しているのであれば、
暗号キーの入力に間違いはないことを切り分けたいところです。
iPadのWIFI設定で、接続中のSSIDをタップすると、
割り当てられたIPアドレスなどが確認できる画面になりますが、
そこに「このネットワーク設定を削除する」という項目があると思います。
こちらをタップして、iPadの無線接続設定を解除します。

その上で、iPadの再設定を行うと、どうでしょうか。
iPadは再接続できるが、プリンターは同じ暗号キーを入れても接続できないとなると、苦しいですね。

最後は、故障の可能性を切り分けるため、
アドホック接続が可能か、確認してみる・・・・
iPadとプリンターをアドホックで直接接続させた場合はどうなるのか。
http://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj552n&faqid=faq00012024_013

では次に確認して欲しい事です

パソコンを起動させて、コマンドプロンプト画面を出し、ipconfigと入力してパソコンに振られているIPアドレスを調べてください

その値を教えてください
IPアドレス・サブネットマスク・デフォルトゲートウェイ

設定値はプライベートアドレスで構成されているので、値をここに書き込んでも問題ありません

次にプリンターの設定ですが、無線接続の際にインフラストラクチャーモードで動作していますか？

またプリンターに振られているIPアドレスを調べて教えてください
パソコンと同じようにプライベートIPアドレスの値のはずなので、ここに書き込んでも問題ありません（192.168で始まっている　それ以外の値の場合には書き込まずにいてください）

プリンターの操作パネルから上記の値は調べる事ができます

SSIDと暗号キーは何をご覧になって確認しているのでしょうか？
最初にPCと無線ルーターの接続を行ったと思いますが、そこで暗号キーを変更したことはありませんか？
スマホをお持ちであれば、スマホで同じSSIDを選択し、同じ暗号キーを入力すると正常に接続できるかテストしてみてはいかがでしょうか？

また、ドライバーインストーラーの「無線LAN設定ウィザード」で、「一時的にUSBケーブルを使用して設定する」を選ぶと、
パソコンが接続しているSSIDとその暗号キーを読み出して、USBケーブルを使ってプリンター側に送り込むことができます。
こちらを試してみてはどうでしょうか？