ブラザー製品 MFC-j6580CDWのトレイが引き出せない！

まずはマニュアルを参照して、詰まった用紙の除去が先決ですね。
カセット側から取り出せない場合は、背面側からもアプローチできるか確認してみてください。
決して無理に引っ張らないように。

マニュアル一覧
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw
↓
ユーザーズガイド ～基本編～
https://download.brother.com/welcome/doc100628/mfc6580cdw_jpn_busr.pdf
36～43ページ「用紙が詰まったときは」を、
直接関連しない給紙経路も含めて、一通りすべて確認してみてください。
どこからも見えない場合、
「紙詰まり解消シート」を使って押し出すこともあります。

まずこれで詰まってしまった用紙の除去を確実に実施してください。

除去ができた後、
・用紙セットの再確認
→かならず、4方向からパラパラ漫画のようにして、用紙の紙粉（裁断粉や繊維くず）や静電気を落としてから、カセットにセットする
事を徹底してください。

・給紙ローラーの清掃をしてください。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&faqid=faq00012049_019

・コンピューターから、ファームウェアの更新とドライバー類の更新を行ってください。
Windowsなら
ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043
を使って本体の制御プログラムを更新完了させてください。

その後、いったんプリンターの電源を切って
下記の流れで、プリンター本体の動作制御関連を更新してください。

・アンインストールツールをダウンロードして実行
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

・パソコンを再起動

・フルパッケージダウンロード【推奨】をダウンロードして実行
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf103168_000&flang=1001&type3=11

・差分を適用
ネットワーク診断修復ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf104495_000&flang=1001&type3=1245

ControlCenter4 アップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf103787_000&flang=1001&type3=1285

ステータスモニターアップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf103276_000&flang=1001&type3=1326

PCファクス受信アップデートツール（ファクス運用時のみ）
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&os=10013&dlid=dlf102165_000&flang=1001&type3=10149

により、
プリンター本体の動作改善プログラムを適用した状態で
動作確認してみてください。

以下、参照して下さい。

「よくあるご質問（Q&A）」
https://support.brother.co.jp/j/b/faqcategory.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw&ftype2=1058

「紙詰まり解消方法」動画
https://www.youtube.com/watch?v=OmmXAbGbi7I