PCとプリンターの接続方法とトラブルの解決方法

従来、
[PC]-(区間1)-[Wi-Fiルーター]-(区間2)-[プリンター]
のようにつなげていて、
Wi-Fiルーターが変わった場合は、
1.PC側で区間1のネットワーク接続の再設定
2.プリンター側で区間2のネットワーク接続再設定（DCP-J963Nの場合、有線LANまたは無線LANのどちらかを選択して設定が必要）
3.PC側で、接続ポートの設定（＝ドライバーの再インストールが確実です）
の3工程の作業が必要になります。

質問文の状況では、2から3の工程の部分が不完全かと思います。

新ルーターは、下記に該当した機種ではありませんか？
・SoftBank光、Yahoo光などの「光BBユニット E-WMTA2.x」
・SoftBank Air等に代表される「工事不要の置くだけルーター」
・キャリア各社のモバイルルーター

これらを利用しているのなら、
ルーターが、
接続した機器はインターネット側との通信は許可するが、
接続した機器同士（＝PCとプリンターの間）の通信を許可しない
設定が初期値になっているため、プリンターの設定時にハマります。

該当する場合は、3.の実行前に、
お使いのルーターの設定変更が必要です。
・光BBユニット（E-WMTA2.x）をお使いの場合
https://www.softbank.jp/support/faq/view/19794
・SoftBankAirをお使いの場合
https://www.softbank.jp/support/faq/view/19792
・モバイルルーターをお使いの場合
マニュアルを確認し「プライバシーセパレーター」「ネットワーク分離」などの設定名で、「ルーターに繋いだ機器同士の通信の制御」に関する設定を確認してください。

なお、Windows8とのことなのですが、8.1への更新を強く推奨します。
すでに無印のWindows8はマイクロソフトのサポートが終わっており、
インターネットに接続して利用するには脆弱性があります。
Windows8→8.1への以降は無料です。
（お使いのPCのスペック次第ではWindows10にもいけます）

3.の詳細な手順ですが、
2.の接続ができたら、下記の流れで実施してください。

1.いったんDCP-J963Nの電源を切る（指示があるまでオフのまま）

2.お使いの無線LANルーターを再起動させておく

3.PCにて下記のアンインストールツールをダウンロード・実行して現在のドライバーを正しく削除する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

4.パソコンを必ず再起動させる（シャットダウン→電源オンではダメ）

5.下記よりフルパッケージをダウンロード・実行して画面の指示に沿って進み、パソコンとの接続方法を選ぶところで電源を入れて、プリンターを検知させる
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf102155_000&flang=1001&type3=11
※ここで検知できないようだと、ルーターが遮断している可能性が高い

6.下記の差分を適用する
※すでに最新版適用済みとされたものは省略可。
a.ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

b.ネットワーク診断修復ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf104495_000&flang=1001&type3=1245

c.ControlCenter4 アップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf103787_000&flang=1001&type3=1285

d.ステータスモニターアップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf103276_000&flang=1001&type3=1326

e.Presto! PageManager インストールツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013&dlid=dlf102169_000&flang=1001&type3=1346

これで、ドライバー類の再インストールは最新の物が適用されますので、確認してみてください。
5.のところで正しく検知させることがポイントになります。
検出できない場合は、ルーターの設定を確認してみてください。
うまくいかない場合は、
ルーターのメーカー名と機種名を補足いただくのがよいでしょう。

Wi-Fiを変えると元の設定ではプリンターが見つかりません。
プリンターを買った時と同じ手順でドライバーのインストールをしてください。

Wi-Fi機器を変更するとネットワークアドレスも変更になりますので
DCP-J963N関連のアプリやプリンター情報（プリンタードライバー）を削除して　新規インストールからやり直して下さい

パソコンに登録されているプリンターアドレスとWi-Fi機器が提供するするアドレスが異なるものになってしまう

ネットワークプリンターは機器追加になりますので　アンインストールしてからの方が安心確実です