新規PCからの写真印刷が写真モードで印刷できない

添付画像の右側のような簡素なドライバーになってしまっているのなら、
新パソコンへのDCP-J940N初期設定手順が間違っていたために、
ブラザー製のドライバーでは無くて、
最小限の機能だけ提供される、OS添付ドライバーが適用されています。

この場合、下記の手順で現在のドライバーの削除と、
ブラザー製ドライバーの入れ直しが必要です。

新規PCとのことなのでWindows10を想定して書きます。
1.お使いの無線LANルーターを再起動させておく
2.DCP-J940Nの電源を切る（以降指示があるまでオフのまま厳守）

3.スタート→Windowsシステムツール→コントロールパネルから表示方法：大きいアイコンにて、デバイスとプリンターを開き、
DCP-J940Nのアイコンを右クリックしてデバイスの削除
※コピー1など名前違いで複数のアイコンが紐付いている場合は繰り返してすべて削除する

4.下記よりアンインストールツールをダウンロード・実行して現在のドライバーを正しく削除する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

5.必ずパソコンを再起動させる（シャットダウン→電源オンではダメ）

6.パソコン再起動後、下記のフルパッケージをダウンロード・実行して画面の指示に沿って進み、パソコンとの接続方法を選ぶところで電源を入れて、プリンターを検知させる
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf013653_000&flang=1001&type3=11
検知されると無線LANの場合BRWxxxxxxxといった名前でポートが設定される

7.続けて下記の差分を適用する
※すでに最新版適用済みとされたものは省略可。
a.ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

b.ネットワーク診断修復ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf104495_000&flang=1001&type3=1245

c.ControlCenter4 アップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf103787_000&flang=1001&type3=1285

d.ステータスモニターアップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf103276_000&flang=1001&type3=1326

e.Presto! PageManager インストールツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n&os=10013&dlid=dlf013888_000&flang=1001&type3=1346

これで、新規パソコンでブラザー製ドライバー類が一式最新状態で整うので、改めて確認をしてください。

>ドライバーインストールもできないとの表示
状況が不明ですが、ドライバーのファイルをダウンロードしようとした際に、
「デバイスに損害を与える可能性がある」などと表示されるのは、Windows10などでMicrosoft Edgeをお使いの際に、
ダウンロードしているファイルについて、
膨大なEdge利用者の状況から統計的に見て
充分な安全性を担保できない場合に表示されるものです。

質問者様が、具体的に、どのアドレスから
なんのドライバーをダウンロードしていたか不明ですが、
「(機種名) ドライバー」などで検索した結果のページから
ダウンロードしようとしている場合、
正規のブラザーサイトでは無い可能性があります。
この場合は、危険があるのでやめた方がよいです。

今回ご案内している各URLは
ブラザーの公式サイトでのリンクを紹介しています。
国内のブラザー製品については、
https://www.brother.co.jp/support/index.aspx
のページから機種名でたどった先のダウンロードコーナーなど、
「brotherの正規サイトからダウンロードしている場合」は、
セキュリティ上の懸念は極めて可能性として低いので、
--
[Microsoft Edge] 「お使いのデバイスに問題を起こす可能性があるため、ブロックされました」と表示されます。
https://www.fmworld.net/cs/azbyclub/qanavi/jsp/qacontents.jsp?PID=0911-2449
などを参考にして、
必要な各ファイルをダウンロード完了させてください。

なお、より万全を期すには、
ダウンロード後、ファイルを実行する前に、
ファイル名を右クリックからのメニューなどで、
「お使いのセキュリティソフト」でスキャンをする癖をつけるとよいでしょう。

また、スキャン後、ダウンロードしたファイルを実行する前に、
そのファイルを右クリック→プロパティにて、
一番下に、
[セキュリティ：このファイルは他のコンピューターから....]
のところにある「ブロックを解除する」にチェックを入れて、
適用→OKをしてから、実行してみてください。

拝見した所、ドライバーがきちんとインストールされていないことが原因と考えられます。
一旦、ドライバーを削除し、下記から選択したドライバーを再度インストールすると良いかもしれません。
↓↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?prod=dcpj940n&c=jp&lang=ja