プリンターの電源が入るがすぐに落ちてしまう

電気製品異常時の基本的対応
コンセントを抜き　数分後に接続で改善しない場合　

ユーザーガイド　応用編　P41　自動電源オフ機能を設定する
を　オフ　に設定されてはいかがでしょう。
https://download.brother.com/welcome/doc100581/cv_dcp567n_jpn_ausr_b.pdf

ユーザーガイド　基本編　P63　機能設定を元に戻す
も試してはいかがでしょう。
https://download.brother.com/welcome/doc100576/cv_dcp567n_jpn_busr.pdf

修理料金表がありました。
　DCP-J968N　は　12,100円＋送料です。
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mymio/index.aspx

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj968n&os=10068
ここからアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そしてWin11に合わせてフルパッケージを再インストールしてください。

どうやっても電源が入らないなら修理にだすしかないでしょう

【インクジェット プリンター】オンライン修理申し込み
DCP-J968N-B
https://myportal.brother.co.jp/ContactUs/RepairRequest1.aspx?model=DCP-J968N-B&type=public&repairType=normal

DCP-J968N-W
https://myportal.brother.co.jp/ContactUs/RepairRequest1.aspx?model=DCP-J968N-W&type=public&repairType=normal

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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj968n
こちらですね。

取りあえずプリンタの電源を切りコンセントを抜いて半日程度放置してから再度しっかりとコンセントを繋いで電源を入れ直して見るとかでしょうか。

インクジェットプリンター・複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mymio/index.aspx
それでも同じように電源を入れても直ぐに電源が切れてしまうなら修理に出すか？買い替えるか？って選択になるかと。

コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？
電源をOFFにします、のメッセージは出てきますか？もし出るようであれば復旧の兆しはあります。
電源をOFFにします、のメッセージが出ている最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？
これで改善すれば良いのですが。以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？