ルーターに接続できない(ページに到達できない)

WRC-1167GHBK2-2型番は存在せず、WRC-1167GHBK2-SかWRC-1167GHBK2-Iかによって設定手順は異なります

WRC-1167GHBK2-Sの場合
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-1167ghbk2-s/movie_manual/

WRC-1167GHBK2-Iの場合
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=5806

https://www.elecom.co.jp/products/WRC-1167GHBK2-S.html
こちらでしょうか。一度ルーター本体にあるリセットボタンを使ってリセットして初期設定からやり直してみるとか。

このサイトにて回答してくれている方々は、質問者と一緒に行動しているわけではないので、状況が観えません。
そのため、
＞引っ越す前に使用していた上記ルーターをVDSLのモデムにインターネットの口で接続しました。
これですと、引っ越しを行う前のインターネット側の設定が残っているので、設定を一旦、店頭販売時の状態（出荷時と書かれている事が多い）にクリア・リセットするか？　使用しているルーターの設定操作に慣れている方なら、再設定をします。

＞ルーターの設定画面である192.168.2.1に接続しましたが、「応答にかかった時間が長すぎます。到達できませんでした」と出ました。

面倒なので、INTERNETポートにケーブルを挿さずリセットボタンを１０秒以上押し続けてリセットします。
次に、パソコンとルーターを接続してインターネットを使用するための設定を仮にしてしまいます。
仮設定終了後、INTERNETポートにケーブルを挿し込みます。

各ランプの点灯時の色については、下記のＵＲＬを参照してください。
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-1167ghbk2-s/WRC-1167GHBK2-S_info_v01.pdf

ちなみに、インターネット側の設定で、ＤＨＣＰ（プロバイダーから自動的に割り振られるＩＰアドレス）でなければインターネットに繋がりませんので、指定された設定をしてください。

マニュアルに関しては、下記の所です。
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-1167ghbk2-s/WRC-1167GHBK2-S_UM_v01.pdf

Wi-Fiの再起動においては、
下記ページの要領で再起動をすることにより改善する可能性があります。
一度されてみてはいかがでしょうか？
https://www.iodata.jp/support/qanda/answer/s20269.htm

Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・工場出荷状態に初期化（リセット）
・WPA3⇔WPA⇔WPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHz⇔2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・バンドステアリングをOFFにする（あれば）
・ビームフォーミングをOFFにする（あれば）
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://internet.watch.impress.co.jp/docs/column/homewifi/1141132.html