Wi-Fiが届かないので、中継器を購入したい

設置する
間取り（階、宅内での設置場所）や
構造（木造、鉄筋）が不明のため、
お勧めのルーターを具体的に提示するのは難しいですので、
補足いただいた方が良いでしょう。

で、
>①改善策は中継器がベストでしょうか？
現段階では、明らかに「いいえ」です。

というのは
>家庭で型番WRH-300WH-HのWi-Fiルータを利用
これは家庭で常用することが前提の商品ではありません。
出張時のホテルの回線を使うときなど、緊急リリーフ型です。

現在の宅内固定回線への適用にはまったくもって不向きで、
アンテナなども最小限ですので現状のリビング以外での
電波の到達力に限りがあるのは当然です。

その観点から中継器を検討する前に、
「まずはWRH-300WH-Hの適切な置換」
を強く推奨します。

で、家庭用のルーターで、
一般的な2階建ての一軒家や3LDKマンションであれば、
バッファロー社かNEC社製の市価5000円程度のモデルで
必要十分です。あとは付加価値の上乗せになってきます。

NEC WG1200HP4
https://www.aterm.jp/product/atermstation/product/warpstar/wg1200hp4/

Buffalo WSR-1166DHP4
https://www.buffalo.jp/product/detail/wsr-1166dhp4-bk.html

を基準に、
Wi-Fi6対応などの上乗せ要素を検討すればよいと思います。

上記2モデルでもWG1200HP4は、
プリンターなど2.4GHz帯のみ対応の機器でネックになりやすい、
混雑による干渉でいつの間にかつながらなくなる、といった事象に対して、一般的なルーターでは手動で再起動が必要なところ、
混雑を検知したら再起動不要で
チャンネルを条件の良いものに変更してくれる、
「オートチャネルセレクト」の「拡張モード」に対応していることがポイントです。

まずはこれで様子を見て、電波の状態次第で、
適切な中継器選びを検討するのが良いと思います。

正直なところ、ルーター分野においては、
性能や実績、技術力、サポート力など総合的見て、
エレコムを積極的に押せるポイントを挙げにくいです。
（ディスカウント量販店など販路の広さ、入手性の良さくらいです）

１．改善策はルーターの買い替えです。設置されているWRH-300WHシリーズは自宅環境で利用する機器ではありません。

他の方もおっしゃっていますが、WRH-300WHシリーズはビジネスホテルなどで提供される「有線LAN」環境を「無線化」するといった用途向けに作られているので、自宅で常用して無線LAN環境を作る機器ではありません。
そもそもが「ホテルの一室向け」なので、有効エリアもそれほど広くなく、速度もそれほど求められているものではなく、Internetポートが最大100Mbpsなので、どんなに頑張っても100Mbps以上は出ません。

エレコムの現行機種で考えるのであれば、WRC-1167GS2-B（https://www.elecom.co.jp/products/WRC-1167GS2-B.html）やWRC-2533GS2-B（https://www.elecom.co.jp/products/WRC-2533GS2-B.html）へ買い替えて利用されるのが良いかと。Wi-Fi5規格なので、話題（？）のWi-Fi6は利用できませんが、普段使いで向こう3年ほど利用するのであればこれで十分。
Wi-Fi6を使いたいならWRC-X3200GST3-B（https://www.elecom.co.jp/products/WRC-X3200GST3-B.html）、つながりも重視したいならWMC-2LX-B（https://www.elecom.co.jp/products/WMC-2LX-B.html）を検討されるのが良いでしょう。

No.1です。追記です。

記載し忘れましたが、WRH-300WH-Hは有線LAN規格がIEEE802.3u（100BASE-TX）/IEEE802.3（10BASE-T）ですので、もし、光回線で1G以上のスピードの契約をしていても、WRH-300WH-Hを通ると上限100Mbpsになってしまいます。
最近のルーターであれば有線LAN規格はIEEE802.3ab（1000BASE-T）/IEEE802.3u（100BASE-TX）/IEEE802.3（10BASE-T）準拠で、1000Mbps=1Gbps（ギガビット）で光回線の通信速度を有効利用できます。
室内ではWi-Fiで繋いでいても、ルーターからインターネットへは有線接続ですので、この有線規格も重要なチュック項目の一つです。

なお、WRH-300WH-Hには中継器の機能（中継器モード）はありませんので、中継器としては使えません。
ご注意ください。

住居がマンションなのか戸建てなのかにもよると思いますが、何よりもまず今お使いのルーターは常用する製品というよりは、旅行先で一時的に使用する製品であると言えます。

中継器を増設する場合、そもそもその位置まではある程度の電波強度で中継器まで電波が届いている必要があります。

住居がコンクリート造などの場合、各部屋を超えるのは難しい部分はありますが、まず、リンク先のような常設型の製品を選択される事をお勧めします。
https://kakaku.com/item/K0001296639/

上のはあくまでも一例ですが、このような常設型の製品に変更してみて改善が見られないようでしたら改めて中継器を検討されてみてはどうでしょうか。

①改善策は中継器がベストでしょう。
②中継器の場合、できれば同じ機種を購入すべきでしょう。