WI-FIがすぐに切れる

>初期設定は「らくらく引っ越し」機能を利用して行ってます。
これはお勧めできません。
同クラスの機種移行であれば便利なのですが、
ルーターの進化やセキュリティ向上を考えると、
最新の機能を生かすことができなかったり、
両機の機能差からトラブルを招きやすいからです。

状況から、引っ越し機能がネックになっているとみてよいので、
1.WRC-X3200GST3を工場出荷状態にリセットし、電源を切る
2.簡単セットアップガイドにそって初期設定
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-x3200gst3/WRC-X3200GST3_SetupGuide_v01.pdf
回線上流側が
・モデムなどルーター機能を持っていないなら、背面のスイッチを[ルーター]
・ホームゲートウェイなどルーター機能を持っているなら背面のスイッチを[AP]
で初期設定を行ってみてください。
かつ、WRC-X3200GST3は、
初期設定がバンドステアリング（2.4GHzと5GHzのSSIDとKeyが同一）有効なので、つながらないときのトラブル対処がやっかいになりやすいので、これを解除して、2.4GHzと5GHzを分離して設定することを推奨します。
お手数ですが、お使いのスマホやパソコンなどは、
それぞれのSSIDへの接続切り替えを行ってください。
5GHzを優先に、2.4GHzしか対応していない機器のみ2.4GHzを使うようにすると安定しやすいです。

初期設定ができたら、
前回のファームウェア更新を行ってから、
お子さんの端末の制限設定を再実施してください。

＞初期設定は「らくらく引っ越し」機能を利用して行ってます。
↓
例えば、元のWiFiがたのメーカー製だったりしたら、楽々引っ越し機能も場合によっては完全でないこともあります。
同じメーカー製でも微調整をする場合もあり得ます。

念のために、再度ご紹介しますが、下記のサイトの、「初期設定方法」と「詳細設定方法」とをお試しされることをお奨めします。
↓
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=8319

症状と一般的なファームウェア管理の両面から見て、
紫点滅の挙動のうち
何らかの原因で「再起動」をうかがわせる挙動と見ます。
症状はいつも決まった時間に夜に発生するのでしょうか？

設定リファレンス
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-x3200gst3/usersmanual/index.html
を確認する限り、子供向けの使いすぎ防止機能のスケジュールタイマーはありますが、
指定時間にルーターを再起動させるような設定は見当たらないですね。

ファームウェアについては
設定リファレンス-ファームウェア更新
https://www.elecom.co.jp/support/manual/network/wireless-lan/router/wrc-x3200gst3/usersmanual/04/?anchor#section-8
により、確認してください。
「2021/04/06 Ver. 1.09 1) 通信機能の安定性向上」が最新です。

これが適用されていたら、一度、工場初期化をして、
再度設定をやり直してみる位でしょうか。

こちらの初期設定は全て済んでいますか？　設定が不完全だと動作も不安定になります。
念のために最初から見直されることをお奨めします。
↓
http://qa.elecom.co.jp/faq_detail.html?id=8319

＞「紫点滅は本製品が起動中、初期化中、設定保存中、またはファームウェア更新中」
↓
初期設定の後であれば、その内のどれかが不具合原因の候補になると思います。　
そんなに頻繁に更新は無いと思います。（中途で終わっているので完了しようとしているのかもしれません）

正しく設定が終わっていれば、その「POWERランプが紫点滅」の現象も収まると思いますので、初期設定の見直しは必要かと思います。
（プロバイダーの設定など含めて）