スマートカードリーダーがマイナカードに無反応

カードリーダのメーカーや型番を書いた方が良いですよ。

カードリーダはUSB接続ですか?
USBコネクタに接続した時にLED等が光る様になっていますか?
デバイスマネージャーを起動して「スマートカード読み取り装置」が表示されていますか?

また、ドライバが必要になる場合があります。
Windows10ですとドライバを自動で探してくれるかもしれませんが、一応、メーカーサイトでドライバの提供があるかどうかを確認してください。

> スマートカードリーダーにマイナンバーカードを挿入しても、全く反応しません。
スマートカードリーダーを入手時点で、初期故障がないか受け取り検査はされたんですよね。
正しく読み取れた実績はあるのですね。
であれば下記の悪戯でないかをチェックしてみるのが早いかも知れません。
多分、USB外付け接続ですね。
高速スタートアップの悪戯の可能性があるかです。
「高速スタートアップ モード」に設定していないかです。
既定値で、設定されていますので外すことをお勧めします。
もしそうであれば、ただちに無効にしてください。
確認手順は、下記の通りです。
Windows10の場合、
スタート→電源オプション→電源とスリープ→電源の追加設定→電源ボタンの動作の選択→
Windows8.1の場合、
コントロールパネル→電源オプション→電源ボタンの動作の選択→

現在利用可能ではない設定を変更します→「高速スタートアップを有効にする(推奨)」
のチェックを外す。
シャットダウンか、再起動をします。
もし再現しなければ、下記の理由で、このままの状態で運用されることを強くお勧めします。
この、「高速スタートアップ」にチェックを入れていると、「シャットダウン」で終わらせても、
パソコンを完全にクローズ処理しないためにいろいろなとんでもないことが発生します。
この高速スタートアップ指定は、「百害あって一利なし」ということで、
外しておくことを強くお勧めします。
現象的には、たくさんの事例があり、何が不具合として出てくるのか分かりません。
今回とよく似た現象は下記があります。

Q外付けHDDが突然反応せず(Windows10）
https://okwave.jp/qa/q9333894.html

外付けUSBハードディスクが認識できません
http://okwave.jp/qa/q8727123.html

マイナンバーカードに対応したリーダーかどうか確認しましょう。
住基カードと対応するリーダーが異なるので注意が必要です。
https://www.jpki.go.jp/prepare/reader_writer.html

また、カードを挿入と書かれているので接触式のカードリーダーであれば、マイナンバーカードの端子面がカード裏側にあるので挿入方向を確認しましょう。

一部のカードリーダーはドライバーを最新にしないと読み取れない場合があるので、ドライバーが更新されていないかメーカーサイトを確認しましょう。

サイトからの各種申請等にマイナンバーカードを利用する場合はブラウザのブラグインソフト等が必要ですので、ご利用になるサービスの利用手順に従って必要なソフトのインストールを行いましょう。

壊れたか　メーカーサイトで
アップデートがあるかもしれません