ノートパソコンなのにコードがないと電源が入らない

電源設定を調べてみてください。

電源設定がバッテリー使用になっていれば、バッテリーの問題だと思われます。バッテリーの充電不足か、過充電が原因でしょうから、放電したり、バッテリーを一度取り外してから、付け直せば、正常化する可能性があります。

電源設定がバッテリー不使用になっていれば、バッテリー使用に設定し直してください。

既に回答が出ていますが、原因の一つはバッテリーが使用出来ない状態になっている事です。
ただの劣化ですと本来の性能が発揮出来ない程度で済むかもしれませんが、使用出来ない状態になっていると充電が出来ない為ACアダプタを使用しないと起動させる事が出来ません。

もう一つは電源回路またはバッテリーの充電回路の不具合です。
バッテリーは使える状態であるのに充電する回路に不具合があり充電出来ないと言う事もあります。

本体右側にあるステータスLEDでACアダプタを挿した時にバッテリーアイコンのLEDは光りますか?

バッテリーの交換で直らない場合はNECに修理に出すしか無いと思います。
近くにパソコン修理を請け負っている業者さんがあれば見積もりを取ってみてください。

バッテリーの劣化ですね
メーカー修理しかありません、
一応、店員さんに
「データーのバックアップは
してまでんからハードディスクには
触らないでください。」
とメーカーにも伝えるように
しましょう。

バッテリーが劣化しているのでしょう
持ち歩いて仕事で使うならバッテリーを交換するしか無いですね
家で使うだけならコードを繋げたままで使うのも良いのではないでしょうか

電源が入らない
⇒放電で改善するか試してください
バッテリが取り外せないノートPC（PC-NM550MAW）の場合
PC-NM550MAW　→　https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-NM550MAW

「2. バッテリを取り外せない機種の場合」を参照
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=008293&p=1#a02

上記で改善しない場合は、バッテリの劣化と思います。「この機種は、お客様ご自身でバッテリ交換ができない機種です。必要に応じて「バッテリ交換サービス（有償）」をご利用ください。」と記載されています。それにしても２年で劣化するのは早いと思います。サポートで故障診断を依頼したらいかがですか。

121コンタクトセンターは電話が繋がるまで相当の時間がかかります。気長に待つしかありません。
121コンタクトセンター →　https://support.nec-lavie.jp/121cc
電話サポート予約サービス →　https://support.nec-lavie.jp/reserve-tel

バッテリ交換サービス　→　https://support.nec-lavie.jp/ss/battery/replace/