ホームグループとインターネット接続

ネットワーク初心者です。

よろしくお願いします。

この先ネットワークゲームをすることになった時に、IPアドレスを固定したほうが良いとネットで書かれていたので固定してみました。契約プロバイダのぷららはIPV6日対応のようなのでIPV4をいじっています。

ipconfig /allで見てみると
マウスノートPCのIPV4アドレスは192.168.1.51（優先）になっています。
自作PCはIPV4アドレスを192.168.1.31（優先）になっています。
後、ぷららの設定ツールは６４BIT非対応のようです。実行もインストールも出来ているんですが・・・

両方のPCをシャットダウンした後にインターネットに接続出来ない状態になったので再度、試行錯誤してネットワークマップが変わっていますが、以前のネットワークマップももう一度書き直してみます。
名前はローカルネットワーク接続Plalaです。（自作PCも無線LAN接続していたのですが同じような症状なので今はWHR-G300Nに有線接続しています。WHR-G300NはAUTOでアクセスポイントモードになっています。）


マウスノートPCのネットワークマップは

マウスノートPC------------不明
　 　　　　　　　 ｜ 　　｜
AP002452896CC-------- PR-S300SE-----インターネット

次の探索されたデバイスはマップに配置されません。
自作PC　自作PCの全ての音楽フォルダ（名称が違っているかもしれません）

AP002452896CCはマウスノートPCと不明のデバイスに繋がっています


自作PCのネットワークマップは

自作PC----------------0024A52896CC
----------| |
|　 　|
マウスノートPC= = =| PR-S300SE-----インターネット

マウスノートPCは、自作PCと0024A52896CCに接続されています


質問後に、ぷらら用　フレッツ光対応プラン　Windows　７　用　設定マニュアルが載っていたのでそれに沿って新しい接続またはネットワークのセットアップを行いました。
既存の～はPlalaの設定なので新しい接続名で新規作成しました。名前はPlala_NEWです。
自作機PCは念のためデバイスマネージャーからネットワークアダプターを削除して再起動しました。

しかしネットワークマップでの表示名は名前はローカルネットワーク接続-Plalaになっていて、Plala_NEWを選択するとマップが作れませんとエラーが返ってきて表示されません。

Plala（両方のPCで同じ名前を付けてあります）のネットワークマップは


マウスノートPC側

マウスノートPC------------不明
|
　 　|
PR-S300SE-----インターネット
|
マウスノートPC= = = = AP0024A52896CC


自作PC側

自作PC----------------AP0024A52896CC
|
　 　 |
PR-S300SE-----インターネット
次の探索されたデバイスはマップに配置されません。
自作PC　マウスノートPC；管理者：

になっています。


ネットワークと共有接続の簡易ネットワークマップを見るとPlala_NEWは反映されてないようで、ホームネットワークはPlala、ホームグループは参加済み、接続は、ローカルエリア接続になっています。

ネットワークの場所の結合または削除を確認してみると

ネットワークの場所；Plala、状態：使用中　種類：管理されていない、
一方Plala_NEWは未使用、管理されていない状態でした。


タイミングはちょっと覚えていないませんが、タスクトレイはインターネットアクセスの状態になっているのですが、デバイスの再インストール後にインターネットに接続：Plalaでパスワードを要求してきました。パスワードを入れてもエラーで繋がらないのでマウスPC側でパスワードを変更してみました。
そのパスワードを入力したら、エラーが出ずにインターネットに接続出来ました。今の設定で自作PC側からそちらに質問している状態です。

自作機、マウスノートPCともにホームグループは相手側のPCが表示されていて、ネットワークは両方のPCが表示されています。ただホームグループは管理者のみ参加可能で、ネットワークのほうはパブリックのフォルダが使用できる状態です。

ホームネットワークとインターネットの設定がOSでしっかり管理出来ていないのか、表示がバグっているのかよくわかりませんが、気持ち悪いです。
IP固定状態で正しい接続状態になる方法を教えてください。（後で自作機でipconfig /allを実行するとIPV4 アドレスが192.168.1.4（優先）、マウスノートPCはIPVアドレスが192.168.1.3（優先）に変わっていました。それと自作PCのデフォルトゲートウェイが２つ表示されていました。どちらも192.168.1.1です。）

あと、自作PC側のタスクトレイにPlala　インターネットのアイコンが表示されているのですが、そのアイコンの中の左上に白いマークが表示されていますが何の意味なのでしょうか？

以上ご回答よろしくお願いします。


注

自作PCはGA-965G－DS3　Ver3.3　BIOS　F10M
OS　Windows　７　Home Premium 64BIT版です。

マザーボードが古いのでネットで得られたドライバーはオーディオドライバのみです。
他はOS標準のドライバーを使っています。
IE9で日本語変換が出来なくなる、日本語キーボードがOSで英語キーボードとして認識されてしまう（レジストリを変更して修復済み）、Windows　メディアプレイヤーがエラーで起動できない等不具合が起きています。
無線LAN親機にはWHR-G300N、ONUにはPR-S300SEを使用しています。

マウスコンピューターのほうにも問い合わせしています。こちらはそのコピーを少し変更して書いてあります。
以前にもこちらで同様な質問をしたのですが、舌足らずで情報が足りないと指摘されたので情報を付け足しています。