筆ぐるめ（年賀状ソフト）のMFC-L3770CDWとの互換性はある？

プリンターには関係ありません。PCのOSに対応しているかの問題です。

他の方が回答されていますが筆ぐるめって言う特定のソフトとMFC-L3770CDWって言う特定のプリンタで互換性の有無って言うのは基本的に無いです。
普通はWindowsの筆ぐるめをインストールして筆ぐるめから印刷をした場合にはWindowsにインストールされているMFC-L3770CDWのプリンタドライバに印刷データを渡すだけになるので互換性とかって言うのは関係ないかと。
ただ印刷する用紙のサイズがMFC-L3770CDW自体が対応しているか？って言うのを確認する必要はあります。筆ぐるめだとハガキに印刷するとは思いますがMFC-L3770CDW自体はハガキに印刷には対応しています。

Windowsが世に出る以前は、ソフトによってプリンターの対応が分かれる、といったことが頻繁にありましたが、現在はそのようなことはありません。
（一部の機能、たとえば両面印刷などでは、ソフト側の対応が影響することがあります）

なので、お使いのOS環境でMFC-L3770CDWを正しくお使いになられているのなら、心配はいりません。
ただし、そもそもお持ちの筆ぐるめのバージョンが書かれていないので、
パソコンのOSに筆ぐるめが対応していることが大前提です。
また、ハガキ自体の紙質などで、筆ぐるめから印刷したくても、
つかえないケースは発生しますが、質問文からそのあたりの条件は読み取れませんので、判断できません。

下記 URL によれば、使用できる用紙は以下のとおりです

ここから引用-----
多目的トレイ：普通紙、再生紙、コート紙*9、ラベル紙、封筒*8、はがき*7
標準用紙トレイ：普通紙、再生紙、はがき*7
引用此処まで-----

但し、注釈で以下のように書かれていますのでご注意ください

*7 ご使用できるはがきは、郵便事業株式会社製 通常郵便葉書です。往復はがき、インクジェットプリンター用はがき、私製はがきはご使用できません。また、絵入りのはがきなど、使用されるはがきの条件によっては、用紙の搬送性能や印字品質に影響を及ぼす場合があります。