常にオフラインになるMFC-J9670CDWの対処法を教えてください

プリンタドライバの設定からSNTPを利用する、のような設定があったらチェックを外してみてください

MFC-J9670CDWという型番に尋ね当たりません。
MFC-J6970CDWではないのですか？
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6970cdw

>モデムを交換したところ、
インターネット回線の契約を替えたり、
ネットワーク機器を替えた場合は、
基本的にそのまま使うことはできませんから、
1.MFC-J6970CDWのネットワーク設定を初期化する
マニュアル
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6970cdw
↓
かんたん設置ガイド
https://download.brother.com/welcome/doc012442/mfc6970cdw_jpn_qsg_ler069047.pdf
58ページ「ネットワーク設定を初期化する」

2.新しいネットワーク機器との接続設定を済ませる
無線LANなら、
・SSIDとKeyを直接操作パネルから入力
・AOSS/WPSボタンで接続
のいずれかで実施。
詳しくは先述のかんたん設置ガイド
45ページ 「無線LANの設定方法について」の[B]or[C]

3.ネットワーク接続出来たら、プリンターの電源を必ず切る

4.パソコンに導入したドライバーをすべてアンインストール
アンインストールツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6970cdw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

5.パソコンを再起動

6.ブラザーのダウンロードサイトから
「フルパッケージダウンロード 【推奨】」をダウンロードして実行
フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6970cdw&os=10013&dlid=dlf014060_000&flang=1001&type3=11
※画面の指示に沿って進み、パソコンとの接続方法を指定した際に、
プリンターの電源を入れて検出させる指示が出るので、
このタイミングで電源を入れて検出させる

これで基本的な準備が整うので、動作確認してください。
動作確認OKなら、最後に、ファームウェア（本体の動作制御プログラム）を更新して、安定動作するようにしてください。
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6970cdw&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

MFCJ9670CDWで検索しましたが見つけられません。
https://search.yahoo.co.jp/search?p=MFCJ9670CDW&ei=UTF-8&fr=mozff

ブラザーのプリンターと推測します。
モデムを交換した？
LAN接続で利用？
ルーター機能が有るモデムを交換なら
プリンターとルーターの接続、パソコンにプリンタードライバーのインストールが必要です。
参考URL　ルーターモデムを変更したら無線LANに接続できません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10316/~/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%A0%E3%82%92%E5%A4%89%E6%9B%B4%E3%81%97%E3%81%9F%E3%82%89%E7%84%A1%E7%B7%9Alan%E3%81%AB%E6%8E%A5%E7%B6%9A%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%81%BE%E3%81%9B%E3%82%93