なぜMFC-J710Dでは留守電にならず着信音が鳴るのか？

留守電機能がアドバイスに従っても復活しないのなら故障でしょう。

しかしメーカー修理は既に終了しています。
本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/04/01）
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj710d

留守電機能ができないだけで買い替えは悔しいでしょうがその機能が必須で使えないなら仕方ないでしょう。

補足ありがとうございます
>呼び出し回数は最初から0の状態となっています

ということは、もとの
>留守電にならず着信音がなります。
というのは、
「留守電にしたのに着信音が鳴ってしまう」という意味ではなく
そもそも文字通り
「留守電応答せず、呼び出し続けてしまう」という意味ですか？
だとすると、
・本体の記録メモリーがいっぱいまたはいっぱいに近い
→他の録音を消すなど
「メモリがいっぱいです」 と表示されました。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj710d&faqid=faq00010195_040

・ファームウェア（本体制御プログラム）の不具合などで正しく切り替わらない
→未更新であれば、下記ページから更新版を適用（2013年以降更新がありませんが）
Windowsから更新
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj710d&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043
Macから更新
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj710d&os=10052&dlid=dlf104932_000&flang=1001&type3=1043
などで、確認してみてください。

留守番電話に切り替わりません。
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj710d&faqid=faq00012568_000
当たりを確認してみるぐらいでしょうか。

MFC-J710Dに限った話ではないですが、
留守電モードにしたからといって、
規定呼び出し回数までは呼び出し音がなりますよ。
全くの無音にしたい場合はゼロ回にする設定が必要です。

オンラインマニュアル
かならずお読みください > 電話とファクスの受信設定 > 呼出回数を設定する
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfcj710d_jp/doc/html/body/705ug_k-03-18.html

留守番機能が働くまでの呼び出し回数は何回ですか？
呼び出し回数を過ぎても電話を取らないと留守番機能になるのが普通です。