モノクロ印刷で赤っぽい部分がある

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
こちらですね。

モノクロ印刷（白黒印刷）する方法（Windows、macOS）
https://support.brother.co.jp/j/b/faqend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&faqid=faq00012345_001
みたいなのは検索すると出ては来ますね。

あとは念の為、プリンタ単体で適当な用紙をモノクロでコピーした場合も同じことが起こるのか？確認してみるとかでしょうか…

・お使いの機種名
が不明ですのでコメントが難しいです。
レーザープリンターなのかインクジェットプリンターなのかも
判断がつかない状態のため、まずは補足してください。
補足投稿の方法：
https://secure.okbiz.okwave.jp/okwave-faq/faq/show/1452?site_domain=help

>モノクロで印刷しても
プリンタードライバーの設定をモノクロにしたとしても、
グラデーションなどをきちんと表現するために、
カラーインクを微量に噴射して人間の視覚的に映えるようにすることがあります。
また、ブラザーのインクジェット機の場合、
黒が顔料でカラーが染料のことが多いですが、
この場合、併用ができませんから、
紙種によってはカラー3色を混ぜて黒を表現することがあります。
この場合、インクの噴射状態がよくない可能性もがあります。

したがって、まずは機種を確認し、
改めて機種ごとに定められた
所定のメンテナンスをしてみる必要があります。

まずはお使いのプリンタの型番を書きましょう。

印刷品質チェックシートの印刷のような事を書いていることからインクジェットプリンターをお使いなのかな？って言うのはわかります。

純粋に黒のインクだけ印刷されていれば赤っぽくなるって言う事は考えにくいですね。ただ黒を表現するのにカラーインクを使って黒を合成するような事になると少し色味が違ってくるって可能性はありますね。