軽快なノートパソコン購入に必要な予算

何はともあれリカバリしてみれば良いのでは。
とうぜんばかっぱやくなるでしょうから、それからじっくりあれこれ入れて考えてみれば良いのでは。
その初期の状態で不満があるならPCの買い換えをお考えになればよろしいでしょうし、SSDもとうぜん有りでしょうし。

こんにちは。

Core i5-4200Uは通常動作時のクロック周波数が1.60GHz、ターボ・ブースト作動時で最大2.60GHzなので、そう速くはないと思います。
（私が保有するノートパソコンはさらに古い世代のCore i5-2410Mが搭載されていますが、通常動作時のクロック周波数は2.30GHzあり、Core i5-4200Uよりもクロック周波数が大きいです）

とはいえ、動作が遅い原因を突き止める必要がありそうです。
参考URL先に詳しい説明が記載されていますが、簡単にまとめると
〇物理メモリの使用量の確認
〇視覚効果の調整
〇デスクトップ設定の調整
〇システム構成の設定の確認
〇アプリケーションの動作環境の確認
　（Windows 7に対応していること、且つ、手持ちのパソコンのハードウェアスペックがアプリの動作環境を満たしているか）
　※後から自分でインストールしたソフトは特に確認すること
〇セキュリティ対策ソフトの確認
　（Windowsの起動と同時に立ち上がり、常にメモリやディスクの読み書きが行われているため、動作が遅く感じられることがありますが、パソコン自体には問題はありません。なお、ソースネクストの「スーパーセキュリティZERO」のように、高いセキュリティと同時に動作の軽さも実現したセキュリティソフトもありますので、セキュリティソフトの入れ替えも効果的かもしれません）
　http://www.sourcenext.com/product/security/zero/ss/
　※「スーパーセキュリティZERO」はOSサポート期間対応型のため、
　　他のセキュリティソフトのように継続使用に係る更新料がかからないメリットもあります。
〇ウイルス感染の有無
　（手持ちのセキュリティソフトでウイルスチェックを行い、感染が無いか確認する）
〇周辺機器（プリンターなど）の確認
　（周辺機器を一旦すべて外してみる。改善した場合は周辺機器を1つずつ接続してどの周辺機器が原因かを特定する）
〇ハードディスクの空き領域を確認する
　（特に、Officeで自ら作成した文書などをシステムファイル用のCドライブに保存している場合は空き容量が少なくなっている可能性がありますので、文書などの作成したファイルをDドライブに移すなり、外付けUSBハードディスクを用意して移すなり、何らかの対策が必要です）

対策を行っても動作の改善が見込めない場合は、買い替えですね。
例として…
富士通 FMV LIFEBOOK WA2/W
※カタログモデルのAHシリーズ（ベーシック）をベースにしたWEB限定カスタムメイドモデル。以下は構成例です。
OS:Windows 10 Home 64bit
CPU:intel Core i5-6300HQ（2.30GHz/4コア・4スレッド/ターボ・ブースト2.0対応）
ディスプレイ:15.6型ワイド スーパーファイン液晶（画面解像度:1,366×768ドット）
メモリ:4GB
ストレージ:1TB ハイブリッドHDD
光学ドライブ:DVDスーパーマルチ（DVD+R/-R 2層書き込み対応）
ワイヤレスLAN:IEEE802.11a/b/g/n/ac準拠
マウス:なし
Office:Home and Business Premium
カラー（選択可）:シャイニーブラック、アーバンホワイト
価格:183,500円（消費税込・送料無料、クーポン適応で144,965円）
http://www.fmworld.net/fmv/ah_b/
http://www.fujitsu-webmart.com/jp/webmart/!ui073?DAI_CODE=2042&WEB_STYLE=S_2042_00000001&SEARCH=kind%3D2%2C9%26series%3D1219

Core iファミリーは第6世代まで進んでいますので、CPUは通常動作時のクロック周波数を2.30GHzに引き上げ、しかもノートPC向けのCore i5では珍しいクアッドコア（ハイパー・スレッティングなし）仕様のCore i5-6300HQを選択しています。さらに、メモリ自体がDDR4 SDRAMに変わったことでより高速化され、高性能なCPU性能を余すことなく引き出すことができます。その為、メモリはあえて4GBに減らしています。
SSDは高速化・振動への強さ・静粛性のメリットがある半面、容量が少ないことが弱点です。そこで、ストレージについてはHDDにNAND型フラッシュメモリを搭載することで大容量と高速化を両立し、SSDよりも安く済む「ハイブリッドHDD」を選択しています（なお、このモデルは大画面ノートでは珍しい256GB SSDの選択も可能です）。

或いは、手持ちのノートパソコンのメーカーの最新モデルに更新する
日本HP HP Pavilion 15-ab200 第6世代スタンダードモデル（キャンペーン）
※直販サイト「HP Directplus」限定モデル。以下は構成例です。
OS:Windows 10 Home 64bit
CPU:intel Core i5-6200U（2.30GHz/2コア・4スレッド/ターボ・ブースト2.0対応）
ディスプレイ:15.6型ワイド フルHD・ノングレア液晶（画面解像度:1,920×1,080ドット）
メモリ:8GB
ストレージ:1TB HDD
光学ドライブ:DVDスーパーマルチ（DVD+R/-R 2層書き込み対応）
ワイヤレスLAN:IEEE802.11a/b/g/n/ac準拠
マウス:なし
Office:Home and Business Premium
カラー（選択可）:ブリザードホワイト、コバルトブルー、ピーチピンク
価格:108,864円（配送料・消費税込）
http://h50146.www5.hp.com/directplus/personal/notebooks/dp_pavilion15_ab200_new/
こちらは第6世代・デュアルコア（ハイパー・スレッティング搭載）仕様のCore i5-6200Uを搭載しています。こちらも通常動作時のクロック周波数が2.30GHzありますので、高速処理化が期待できます。また、価格が安いため、メモリは手持ちの機種と同じ8GBに増量しています。
ストレージは大容量の1TB HDD、ディスプレイはフルHD・非光沢（ノングレア）液晶なので、情報量が多く、目が疲れにくい特徴があります。
さらに、持ち運び時やテーブルからの滑落など、緊急時にハードドライブヘッドをセーフティゾーンに退避することでディスク面の損傷を防いで振動や衝撃からデータを保護する「HPプロテクトスマート・テクノロジー」も採用されています。

速度が遅くなる原因にはいろいろあります。
１・ＨＤＤに原因があっても、それが故障寸前で遅くなっているのか
中のソフトウェアに原因があるのかにもよります。
２・ソフトウェアの原因にも、ファイルが壊れていたり
３・設定がおかしな事になっていたり、
４・何かのソフトが足を引っ張っていたりします。

また、ＳＳＤにするとＨＤＤの円盤回転による読み込みの遅延がなくなり
その分早くなると思いますが、４の場合、改善されない可能性があります。
１・２の場合、そのうち動かなくなります。

最終的にＳＳＤ導入も視野にいれた対応方法を考えてみましょう。
０・必要なファイルは別途バックアップを取る（ＵＳＢＨＤＤなどに）
１・バックアップソフトでハードディスク丸ごとバックアップする。
（エラーがでてもスキップして最後までする。）
２・いらないソフトを削除しまくる。
早くなるか確認する事
３・早くならないなら、ＨＤＤそのままで復元してみる。
早くなるか？
４・ならない場合クリーンインストールもしくはリカバリーディスクからの復元
早くなるか？なれば必要なソフトをインストールし、必要なファイルを戻す。
５・遅いままだとハードディスクの不良が考えられる為、ＳＳＤ交換か修理

PCのメンテナンスしていますか？！　まさか全くしていないとか？！
PCはメンテしないと、どんどん動作が重くなります。

色々細かいメンテ方法はありますが、一括でメンテしてくれる
ソフトも存在します。例えば・・・・
http://www.forest.impress.co.jp/library/software/advsystemca/
これや・・・
http://www.forest.impress.co.jp/library/software/glaryutils/
これなど。
試してみてはいかがですか？！それでダメなら、
買い替え等も検討するとか。
ちなみに個人的には上側の方のソフトを２台のPCで使用中ですが、
問題は起きていませんね。

注意）これらはPCを速くする訳ではありません。
あくまで遅くなりにくくするソフトです。

http://www.forest.impress.co.jp/library/software/crystaldisk/
HDDの診断。これ大切です。ついでにメモリーも。
タスクマネージヤを立ち上げて、メールを起動。CPUの状態をみる。
それから、掃除する。システムファイルのクリーンアップも忘れずに。
最終、リカバリ。