ノートPC B590の電源が数秒で落ちる原因と修理費用について

使用期間が長ければ、電源を交換すれば直るかもしれません。

私は基板、特にコンデンサーだと思います。

一番考えられるのはCPUのオーバーヒートです、放熱フィンにホコリがつまり、オーバーヒートを起こし、緊急停止になって居ると考えられます。
数十秒と言う事は相当前からその症状は出ていて、CPUとヒートシンクのヒートスプレッダーに熱伝導グリスが塗布されているのですが、そのグリスが長時間の高熱で油分が蒸発して硬化して熱伝導性能が著しく低下していると考えられます、CPUを取り外しグリスの除去、ヒートシンクのグリスの除去と、内部クリーニング後グリスの再塗布と組み立てとなります、また年式から考えてHDDも寿命と考えるべき（再度強制終了になっているのでHDDのセクタークラッシュもあるように思えます）
自分でやるならグリス代、グリス除去に車のブレーキクリーナー（ヘプタン）、と新しいHDD（約１万）に、USB接続のHDDコピーマシンで２万円くらい
メーカーなら４，５万
ショプで３，４万位では無いでしょうか。
参考　CPU交換
http://www.npaso.com/2016/04/15/post-326/
ついでにCPUを高性能化するならCore i5-3380M
http://www.geno-web.jp/shopdetail/000000040848/ct1298/page1/order/
Celeron 1005M @ 1.90GHz 1833
Core i5-3230M @ 2.60GHz 3930
のいずれかがB590ですから
Core i5-3380M @ 2.90GHz 4407
と高性能化も可能です、特にCekeronなら倍以上の性能になります
電源不足になる可能性もありますが、人柱覚悟で
Core i7-3610QM
http://www.geno-web.jp/shopdetail/013007000044/ct1298/page1/order/
Core i7-3610QM @ 2.30GHz 7463
と言う最新のCore i5ノート
Core i5-7360U @ 2.30GHz 6080
と同等以上な性能にチャレンジと言う選択肢もあります。

＞電源SW 投入するも　数秒で落ちる
＞この現象の原因は?

この症状は、ヒートシンクとCPUを癒着させる「グリス」の劣化の可能性が非常に高いです。

ヒートシンクとCPUを癒着させる「グリス」が劣化して「粉状」になると、CPUの熱をヒートシンクで放熱できなくなり、CPUが「異常過熱」します。

CPUは、放熱不良で異常過熱を検知すると、強制的にシャットダウンするようになっています。

なので、グリスが劣化して放熱しなくなると「電源を入れて数秒で落ちる」ようになります。

＞このまま使い続ければ、さらに重篤になりますでしょうか。

さらに重篤になるでしょう。もし「HDDに書き込み中に強制シャットダウン」が起きれば、場合によっては「HDDが物理的にクラッシュ」します。

物理的なクラッシュでなくても「パソコンの電源を切ってはいけない、システムファイルの更新中」に「強制シャットダウン」が起きれば、システムファイルがソフトウェア的にクラッシュし、Windowsが起動も回復も出来なくなります。

HDDが物理クラッシュしたり、Windowsが起動も回復も出来なくなれば、大事な画像や動画や購入したアプリや、消えては困るメールやパスワードを失う事になり、被害が甚大になります。

＞修理するとすれば、其の費用はいくらくらいでしょうか。

ノートPCは、分解して、CPUのヒートシンクを付け直すのは、非常に困難です。修理費も、技術料や部品代を合わせて考えれば「新規にPCを買い直した方が安い」でしょう。

今すぐ、新しいPCを買って、今のPCを「ワザと寒くした室内で、外付けPCクーラーでPC本体を冷やしながら起動」して、旧PCから新PCに「データのお引っ越し」をしましょう。

ともかく、今の状態は「いつ吹っ飛んでもおかしくない」状態です。これ以上使い続けるのは非常に危険です。

電源系が怪しいというNo.1さんに賛成。
可能性としては、電源アダプタの劣化というのもあり得るかも知れません。こちらであればアダプタ交換でしのげるという話になりますが、ノートPCの電源構成からしてこの状態とするとバッテリーパックも死んでいることになるため、それ込みで交換するコストをかけるなら新しいPCに買い換えてデータだけ移行する手段を検討した方が…と同じ結論に行き着いてしまいますね。